Gli integrali definiti e il calcolo delle aree

L'integrale definito è uno dei temi più presenti nella seconda prova di matematica del liceo scientifico: serve a calcolare aree, volumi e valori medi, e collega in un unico teorema il calcolo differenziale e quello integrale. Questo materiale ti accompagna nel ripasso di tutto il percorso, dalla definizione alle applicazioni geometriche.

Si parte dall'idea di integrale come limite delle somme di Riemann e dalle sue proprietà: l'additività rispetto all'intervallo, il cambio di segno quando si scambiano gli estremi, l'integrale nullo su un intervallo ridotto a un punto. Si passa poi al teorema della media integrale e al valor medio di una funzione, con calcoli concreti, e alla funzione integrale $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$: il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che la sua derivata è $f(x)$, e con la regola della catena impari a derivare anche funzioni integrali con un estremo variabile come $x^2$.

La formula di Newton-Leibniz ti permette di calcolare un integrale definito a partire da una primitiva. Su questa base si costruiscono le applicazioni: la distinzione tra integrale e area quando la funzione cambia segno, l'area della regione compresa tra due curve (dopo averne trovato le intersezioni), il volume di un solido di rotazione attorno all'asse $x$ con la formula $\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$, fino alla deduzione del volume della sfera. Completano il quadro l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico e i primi integrali impropri, convergenti e divergenti.

Il materiale offre un quiz con domande di calcolo e domande concettuali, sempre con funzioni ed estremi scritti nel testo; un mazzo di flashcard con definizioni, teoremi e formule; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui un'area tra parabola e retta, il volume della sfera e lo studio di una funzione integrale; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede una cosa alla volta e ti fa giustificare ogni passaggio.

Il livello è quello del quinto anno del liceo scientifico. Gli esercizi sono originali e pensati per l'allenamento, con distrattori che riproducono gli errori tipici: dimenticare il fattore $2x$ nella derivata di una funzione integrale, sottrarre l'area che sta sotto l'asse invece di sommarla, scordare il quadrato nella formula del volume.

• Spiegare l'integrale definito come limite delle somme di Riemann e usarne le proprietà
• Applicare il teorema della media e calcolare il valor medio di una funzione
• Derivare una funzione integrale con il teorema fondamentale del calcolo
• Calcolare integrali definiti con la formula di Newton-Leibniz
• Calcolare aree, anche tra due curve o per funzioni che cambiano segno
• Calcolare volumi di solidi di rotazione e studiare semplici integrali impropri

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.