Twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów

Trygonometria kąta ostrego wystarcza w trójkątach prostokątnych, ale na maturze z matematyki często trzeba rozwiązać trójkąt dowolny: obliczyć bok naprzeciw kąta rozwartego, ustalić miarę kąta z trzech boków albo wyznaczyć pole, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Ten materiał uczy robić to sprawnie i bez zgadywania.

Podstawą jest twierdzenie cosinusów, które w podstawie programowej należy do poziomu podstawowego. Ćwiczysz je w obu kierunkach: wyznaczasz trzeci bok, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, oraz obliczasz cosinus kąta, gdy znasz wszystkie trzy boki. Uczysz się też szybko rozpoznawać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, porównując kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych — i rozumiesz, dlaczego to porównanie działa. Drugim narzędziem jest wzór na pole trójkąta z sinusem kąta, stosowany także w drugą stronę, do wyznaczenia sinusa z danego pola.

Twierdzenie sinusów, łączące boki z sinusami przeciwległych kątów i z promieniem okręgu opisanego, zostało w podstawie programowej obowiązującej od 2024 roku przeniesione do zakresu rozszerzonego. Zadania z nim są w materiale wyraźnie oznaczone, a ich rozwiązania pokazują pułapkę, o której łatwo zapomnieć: równanie z sinusem kąta może mieć w trójkącie dwa rozwiązania, ostre i rozwarte.

Materiał oferuje cztery formy pracy. Quiz zawiera zadania zamknięte z pełnym rachunkiem w wyjaśnieniu, a liczby dobrano tak, by wyniki były dokładne. Fiszki pomagają zapamiętać wzory i wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $120^\circ$, $135^\circ$ i $150^\circ$. W rozmowie egzaminacyjnej odpowiadasz na krótkie pytania i obliczenia egzaminatora, uzasadniając wybór twierdzenia. Praca pisemna zawiera zadania otwarte: obliczanie boków, kątów i pól, zadanie praktyczne o odległości oraz krótkie uzasadnienie kryterium rozwartokątności, z rozwiązaniem wzorcowym do porównania.

Najważniejszy nawyk, który wyrabia ten materiał, to dobór narzędzia do danych: dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki — twierdzenie cosinusów; bok i dwa kąty albo bok, kąt i promień okręgu opisanego — twierdzenie sinusów. Dzięki temu nawet nietypowe zadanie z trójkątem przestaje być zagadką.

• Stosujesz twierdzenie cosinusów do wyznaczania boku i cosinusa kąta
• Rozpoznajesz trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny na podstawie długości boków
• Obliczasz pole trójkąta ze wzoru $P=\frac12ab\sin\gamma$ i wyznaczasz z niego sinus kąta
• Stosujesz twierdzenie sinusów i wyznaczasz promień okręgu opisanego (poziom rozszerzony)

Materiał ćwiczeniowy przygotowany przez Zestly.