Calcul littéral et équations

Le calcul littéral est l'une des bases incontournables du programme de 3e, et une compétence directement testée à l'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges (DNB). Cette leçon couvre l'ensemble des savoir-faire attendus : développer une expression grâce à la double distributivité, reconnaître et utiliser les trois identités remarquables, factoriser une expression en identifiant un facteur commun, résoudre une équation du premier degré à une inconnue, et résoudre une inéquation simple.

Les questions commencent par le développement d'expressions comme $(x+3)(x+5)$ en appliquant la double distributivité terme à terme, avant d'aborder les identités remarquables : le carré d'une somme $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, le carré d'une différence $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, et la différence de deux carrés $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. Savoir reconnaître ces formes — dans un sens comme dans l'autre — est ce qui distingue un développement laborieux terme à terme d'une factorisation ou d'un calcul immédiat.

La résolution d'équations occupe une place centrale : isoler l'inconnue dans des équations avec parenthèses ou avec l'inconnue des deux côtés de l'égalité, en manipulant correctement les signes lors du passage d'un terme d'un membre à l'autre — l'erreur la plus fréquente chez les élèves de 3e. Le même soin est apporté aux inéquations, où la règle à ne jamais oublier est qu'une multiplication ou une division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Chaque question est autonome et donne l'expression algébrique complète dans son énoncé — aucune connaissance implicite n'est supposée au-delà du programme de 3e. Les distracteurs correspondent aux erreurs les plus courantes : oubli d'un terme croisé dans la double distributivité, confusion entre $(a+b)^2$ et $a^2+b^2$, erreur de signe en développant une parenthèse précédée d'un signe moins, ou oubli d'inverser le sens d'une inéquation. En travaillant ces dix questions, l'élève consolide exactement les automatismes attendus le jour de l'épreuve.

• Développer une expression littérale grâce à la double distributivité
• Reconnaître et appliquer les trois identités remarquables : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$
• Factoriser une expression en identifiant un facteur commun
• Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, y compris avec des parenthèses ou l'inconnue des deux côtés
• Résoudre une inéquation simple en appliquant correctement la règle d'inversion du sens lors d'une division par un nombre négatif

« Crée une série de questions de mathématiques de type Brevet des collèges (DNB), niveau 3e, sur le calcul littéral et les équations : développer une expression avec la double distributivité (a+b)(c+d), factoriser en utilisant un facteur commun, reconnaître et utiliser les identités remarquables (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b), résoudre une équation du premier degré à une inconnue, résoudre une inéquation simple du premier degré. »