Scomposizione in fattori e frazioni algebriche

La scomposizione in fattori è probabilmente la competenza algebrica più trasversale del biennio: serve per semplificare frazioni algebriche, risolvere equazioni di grado superiore al primo, studiare il segno di un'espressione nelle disequazioni e affrontare i limiti nel triennio. Questo quiz di ripasso copre tutte le tecniche principali di scomposizione e le operazioni fondamentali con le frazioni algebriche.

Si comincia dal raccoglimento totale (estrarre il MCD comune a tutti i termini) e dal raccoglimento parziale, utile quando un polinomio con quattro termini può essere raggruppato in coppie con un fattore comune. Segue il blocco dei prodotti notevoli "al contrario": riconoscere una differenza di quadrati $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, una somma o differenza di cubi $a^3\pm b^3$, o un quadrato di binomio già sviluppato, per tornare rapidamente alla forma fattorizzata.

Un'attenzione particolare è dedicata alla scomposizione del trinomio di secondo grado $x^2+sx+p$ tramite la ricerca di due numeri con somma $s$ e prodotto $p$, e al caso più generale del trinomio con coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1, che richiede il metodo del "trinomio caratteristico" (scomposizione in quattro termini seguita da raccoglimento parziale). Il quiz introduce anche il teorema del resto — il resto della divisione di $P(x)$ per $(x-c)$ è $P(c)$ — strumento chiave per la regola di Ruffini e per la ricerca di radici intere di un polinomio.

La seconda parte del quiz si concentra sulle frazioni algebriche: come determinare le condizioni di esistenza (i valori che annullano il denominatore), come semplificare una frazione dopo aver scomposto numeratore e denominatore, e come eseguire somma, prodotto e divisione tra frazioni algebriche, incluso il passaggio chiave di dividere per una frazione moltiplicando per il suo reciproco.

Ogni domanda è indipendente e contiene già l'espressione da analizzare, così da poter essere usata anche come singolo esercizio di ripasso mirato.

• Applicare raccoglimento totale e parziale per scomporre un polinomio in fattori
• Riconoscere e invertire i prodotti notevoli: differenza di quadrati, somma/differenza di cubi, quadrato di binomio
• Scomporre trinomi di secondo grado, anche con coefficiente direttore diverso da 1
• Usare il teorema del resto per trovare il resto di una divisione polinomiale e le radici intere
• Determinare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica
• Semplificare, sommare, moltiplicare e dividere frazioni algebriche dopo averle scomposte in fattori

Quiz di ripasso di algebra per il biennio dei licei: scomposizione in fattori (raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio di secondo grado, teorema del resto e Ruffini) e operazioni con le frazioni algebriche (condizioni di esistenza, semplificazione, somma, prodotto, divisione).