Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta — miara łukowa, wykresy, równania

Na poziomie podstawowym trygonometria kończy się na kątach od $0^\circ$ do $180^\circ$. Poziom rozszerzony matury z matematyki wymaga więcej: kątów dowolnej miary, miary łukowej, wykresów funkcji trygonometrycznych i rozwiązywania równań w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ten materiał prowadzi przez tę część programu krok po kroku.

Zaczynasz od miary łukowej — zamiany stopni na radiany i odwrotnie — oraz od definicji sinusa, cosinusa i tangensa dowolnego kąta za pomocą punktu leżącego na jego końcowym ramieniu. Uczysz się ustalać znaki funkcji w poszczególnych ćwiartkach i obliczać wartości dla kątów takich jak 7π6, 5π4 czy 4π3, sprowadzając je do kątów ostrych.

Druga część dotyczy własności funkcji, które odczytuje się z wykresów: okresowości, parzystości i nieparzystości, zbioru wartości i dziedziny tangensa. Ćwiczysz też wpływ prostych przekształceń wzoru na te własności, na przykład okres funkcji sin⁡2x czy zbiór wartości funkcji $3\sin x-1$.

Trzecia część to równania trygonometryczne. Zapisujesz rozwiązania ogólne równań sin⁡x=a, cos⁡x=a i tg⁡x=a z parametrem całkowitym k, rozpoznajesz równania sprzeczne i liczysz rozwiązania w zadanym przedziale. Częstym błędem, któremu poświęcamy osobne pytanie, jest dopisywanie do rozwiązań równania z tangensem okresu $2\pi$ zamiast π. Wzory na funkcje sumy i różnicy kątów oraz tożsamości ćwiczy osobny materiał tej kategorii, więc tutaj nie są potrzebne.

Materiał oferuje cztery formy pracy. Quiz zawiera zadania zamknięte z wyjaśnieniami. Fiszki zbierają definicje, okresy, parzystość i wzory na rozwiązania ogólne. W rozmowie egzaminacyjnej odpowiadasz na krótkie pytania egzaminatora i uzasadniasz znaki oraz wartości. Praca pisemna zawiera zadania otwarte: zamianę miar, wyznaczanie funkcji z punktu i z jednej znanej wartości, analizę funkcji $2\cos x+1$, okres i parzystość, rozwiązania ogólne oraz rozwiązania równań w zadanym przedziale, z rozwiązaniem wzorcowym. Nierówności trygonometrycznych podstawa programowa z 2024 roku już nie wymienia, więc materiał ich nie ćwiczy.

Przy każdym zadaniu pomaga szkic okręgu jednostkowego lub wykresu sinusoidy — to najszybszy sposób, by sprawdzić znak, wartość i liczbę rozwiązań bez uczenia się tabel na pamięć. Materiał dobrze przygotowuje do zadań z tożsamościami i wzorami redukcyjnymi, w których te same umiejętności są punktem wyjścia.

  • Zamieniasz miarę stopniową na łukową i odwrotnie
  • Wyznaczasz wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta z punktu na jego ramieniu i ze znaków w ćwiartkach
  • Korzystasz z okresowości, parzystości i zbioru wartości funkcji trygonometrycznych
  • Zapisujesz rozwiązania ogólne równań trygonometrycznych i liczysz rozwiązania w przedziale

Materiał ćwiczeniowy przygotowany przez Zestly.

Przykładowe pytanie

Które z poniższych wartości są poprawne dla kąta o mierze $\frac{4\pi}{3}$ radianów?

Zobacz odpowiedź

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, $\operatorname{tg}(\frac{4\pi}{3}) = \sqrt{3}$

Kąt $\frac{4\pi}{3}$ znajduje się w trzeciej ćwiartce. Cosinus jest tam ujemny i wynosi $-\frac{1}{2}$, sinus jest ujemny i wynosi $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, a tangens jest dodatni i wynosi $\sqrt{3}$.

← Matematyka

↑ Matura