Kąty w okręgu, styczna, łuk i wycinek koła

Planimetria to obszerny dział matury z matematyki, a zadania z okręgiem pojawiają się w niej szczególnie często. Ten materiał zbiera najważniejsze własności, które warto stosować bez wahania: kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty. Ćwiczysz przy tym rzecz, która najczęściej prowadzi do błędu — ustalenie, na którym łuku, krótszym czy dłuższym, jest oparty dany kąt.

Druga część dotyczy stycznej do okręgu. Korzystasz z tego, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności i że odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu są równe. Dzięki temu obliczasz długość odcinka stycznej z twierdzenia Pitagorasa oraz kąty w czworokącie utworzonym przez środek okręgu, dwa punkty styczności i punkt, z którego poprowadzono styczne. Ćwiczysz też obliczanie długości cięciwy i jej odległości od środka okręgu.

Trzecia część to długość łuku i pole wycinka koła, czyli wzory, w których kąt środkowy wyznacza, jaka część całego okręgu lub koła jest potrzebna. Zakres jest dobrany do poziomu podstawowego w podstawie programowej obowiązującej od 2024 roku; twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą zostało z niej usunięte, a własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu omawia osobny materiał o wielokątach.

Materiał oferuje cztery formy pracy. Quiz zawiera zadania zamknięte, w których wszystkie dane — położenie punktów, miary kątów i długości — są opisane słowami, a wyjaśnienia prowadzą przez rozumowanie krok po kroku. Fiszki utrwalają twierdzenia i wzory. W rozmowie egzaminacyjnej odpowiadasz na pytania egzaminatora i uzasadniasz, z której własności korzystasz. Praca pisemna zawiera zadania otwarte: obliczenia kątów, odcinków stycznych, cięciw, łuków i pól wycinków oraz krótkie uzasadnienie twierdzenia o kącie opartym na średnicy, z rozwiązaniem wzorcowym do porównania.

Przy każdym zadaniu warto wykonać własny szkic: zaznaczenie środka okręgu, promieni i punktów styczności zwykle od razu pokazuje trójkąt prostokątny albo równoramienny, w którym kryje się rozwiązanie. Ten nawyk przyda się także w zadaniach z trójkątami i czworokątami.

• Stosujesz zależność między kątem wpisanym i środkowym, rozróżniając łuk krótszy i dłuższy
• Korzystasz z równości kątów wpisanych opartych na tym samym łuku i z kąta prostego opartego na średnicy
• Wykorzystujesz prostopadłość stycznej do promienia i równość odcinków stycznych
• Obliczasz długość cięciwy, jej odległość od środka, długość łuku i pole wycinka koła

Materiał ćwiczeniowy przygotowany przez Zestly.