Wzory skróconego mnożenia i działania na wielomianach

Ten materiał porządkuje jeden z najczęściej wykorzystywanych działów matury z matematyki na poziomie podstawowym: wyrażenia algebraiczne. Ćwiczysz trzy wzory skróconego mnożenia — kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów — w obie strony: rozwijasz nawiasy i rozpoznajesz trójmian, który jest pełnym kwadratem. Dużo uwagi poświęcamy typowym pułapkom, takim jak pominięcie podwojonego iloczynu albo zapisanie sumy kwadratów jako iloczynu, bo właśnie te błędy najczęściej kosztują punkty w zadaniach zamkniętych.

Drugą część stanowią działania na wielomianach jednej i wielu zmiennych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, wyłączanie jednomianu przed nawias, ustalanie stopnia iloczynu oraz obliczanie wartości wielomianu dla podanego argumentu. Uczysz się też korzystać z równości wielomianów, czyli porównywać współczynniki przy tych samych potęgach, aby wyznaczyć nieznane parametry. Wzory skróconego mnożenia wykorzystujesz także do usuwania niewymierności z mianownika i do rozstrzygania, czy wynik działania na pierwiastkach jest liczbą wymierną.

Zakres odpowiada wymaganiom poziomu podstawowego w podstawie programowej liceum i technikum po zmianach z 2024 roku: wzory sześcienne, rozkład metodą grupowania i dzielenie wielomianu przez dwumian należą obecnie do zakresu rozszerzonego, dlatego materiał ich nie wymaga. Pojawia się natomiast proste mnożenie wyrażeń wymiernych z ustaleniem dziedziny.

Materiał oferuje cztery formy pracy. Quiz to krótkie zadania zamknięte z wyjaśnieniem każdej odpowiedzi. Fiszki pomagają utrwalić wzory i definicje, takie jak stopień wielomianu czy równość wielomianów. W rozmowie egzaminacyjnej odpowiadasz na pytania egzaminatora i uzasadniasz kolejne kroki obliczeń. Praca pisemna zawiera zadania otwarte do rozwiązania na kartce: rozwijanie i zwijanie wyrażeń, dowód prostej tożsamości, wyznaczanie parametrów oraz usuwanie niewymierności, z pełnym rozwiązaniem wzorcowym do porównania.

Materiał przyda się zarówno na początku powtórek, jako przegląd podstaw algebry, jak i przed samym egzaminem, gdy chcesz szybko sprawdzić, czy rachunki na wyrażeniach wykonujesz bezbłędnie. Sprawna algebra to fundament dalszych działów: funkcji kwadratowej, równań, ciągów i geometrii analitycznej, dlatego warto wrócić do tego materiału zawsze wtedy, gdy w trudniejszym zadaniu zawodzi przekształcanie wyrażeń. Każde zadanie quizu ma jedną poprawną odpowiedź, a wyjaśnienie pokazuje cały rachunek, więc po błędzie od razu widzisz, w którym miejscu pojawiła się pomyłka.

• Stosujesz wzory $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ i $a^2-b^2$ do rozwijania i zwijania wyrażeń
• Usuwasz niewymierność z mianownika, korzystając z różnicy kwadratów
• Dodajesz, odejmujesz i mnożysz wielomiany jednej i wielu zmiennych oraz wyłączasz jednomian przed nawias
• Wyznaczasz parametry z równości wielomianów i obliczasz wartość wielomianu
• Mnożysz proste wyrażenia wymierne z uwzględnieniem dziedziny

Materiał ćwiczeniowy przygotowany przez Zestly.