Passez ce Quiz: Continuité et théorème des valeurs intermédiaires | Zestly

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

Accepted Answer

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 2$. Comme $3x^2 \ge 0$, on a $f'(x) \ge 2 > 0$ pour tout $x \in [0, 1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$. On calcule $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$. Comme $f(0) < 0 < f(1)$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [0, 1]$.

Question 2

Soit $g$ la fonction définie sur $[0, 2]$ par $g(x) = x^2 - 3$ si $x \in [0, 1]$ et $g(x) = x - 3$ si $x \in ]1, 2]$. Étudier la continuité de $g$ en $x = 1$.

Accepted Answer

On calcule la limite à gauche : $\lim_{x 	o 1^-} g(x) = 1^2 - 3 = -2$. On calcule la limite à droite : $\lim_{x 	o 1^+} g(x) = 1 - 3 = -2$. Comme $g(1) = -2$ et que les limites à gauche et à droite sont égales, la fonction $g$ est continue en $x = 1$.