Exponential- und Wachstumsfunktionen

Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse, die im Abitur regelmäßig in Anwendungsaufgaben auftauchen — von radioaktivem Zerfall über Bevölkerungswachstum bis zur Verzinsung. Dieses Quiz übt sowohl die reine Differential- und Integralrechnung mit der e-Funktion als auch das Verständnis der zugrundeliegenden Wachstumsmodelle.

Die zehn Fragen behandeln die charakteristischen Eigenschaften von $f(x)=e^x$ (streng monoton steigend, keine Nullstelle, Ableitung gleich der Funktion selbst), die Kettenregel bei $e^{g(x)}$, die Berechnung der Halbwertszeit beim radioaktiven Zerfall über $T_H=\frac{\ln (2)}{\lambda }$, sowie den Unterschied zwischen unbegrenztem exponentiellem Wachstum und logistischem Wachstum mit Sättigungsgrenze. Auch Transformationen der Grundfunktion (Verschiebungen im Graphen bei $g(x)=e^{x-2}+3$) und die Stammfunktion von $e^{ax}$ werden geübt.

Besonderer Wert liegt auf dem Verständnis, dass die stetige Wachstumsrate $k$ im Exponenten die momentane relative Änderungsrate $\frac{f^{\mathrm{\prime }}(t)}{f(t)}$ ist, aber weder mit dem Wachstumsfaktor $a=e^k$ noch exakt mit der prozentualen Zunahme pro Jahr $a-1=e^k-1$ übereinstimmt, der sie nur für kleine $k$ nahekommt — Begriffe, die häufig verwechselt werden. Auch die Bedingungen für Wachstum ($a>1$ bzw. $k>0$) versus Zerfall ($0<a<1$ bzw. $k<0$) werden klar herausgearbeitet, ebenso wie die Umrechnung zwischen einer allgemeinen Exponentialfunktion $a^x$ und der Basis $e$.

Dieses Set ergänzt die Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben um die für Anwendungskontexte besonders wichtige Funktionsklasse der Exponentialfunktionen und ist damit ein zentraler Baustein für den Analysis-Teil der Abiturprüfung Mathematik im Rahmen des IQB-Aufgabenpools.

• Die charakteristischen Eigenschaften der Funktion $e^x$ benennen und begründen
• Die Ableitung und Stammfunktion von Exponentialfunktionen korrekt bestimmen
• Die Halbwertszeit bei radioaktivem Zerfall berechnen
• Wachstum und Zerfall anhand von Basis bzw. Wachstumsrate unterscheiden
• Exponentielles von logistischem Wachstum begrifflich abgrenzen

Beispielaufgabe: „Ein radioaktiver Stoff zerfällt gemäß $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$. Wie lässt sich die Halbwertszeit $T_H$ berechnen?" — Lösung über $0{,}5 = e^{-\lambda T_H} \Rightarrow T_H = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.