Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Cet examen de spécialité Mathématiques de Terminale porte sur la continuité des fonctions et le théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Il couvre l'étude de la continuité d'une fonction, l'application du TVI et de son corollaire pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution d'équation, et l'encadrement d'une solution par balayage ou dichotomie. Chaque exercice fournit toutes les données et un corrigé détaillé avec le raisonnement étape par étape.
- Étudier la continuité d'une fonction sur un intervalle
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
- Justifier l'existence et l'unicité d'une solution d'équation
- Encadrer une solution par dichotomie
Programme de spécialité Mathématiques de Terminale : continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
Exemple de question
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.
Voir la réponse
La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 2$. Comme $3x^2 \ge 0$, on a $f'(x) \ge 2 > 0$ pour tout $x \in [0, 1]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$. On calcule $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$. Comme $f(0) < 0 < f(1)$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [0, 1]$.