ЕГЭ по математике: Векторы на плоскости

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике — задача о векторах на плоскости, краткий ответ, 1 первичный балл. Векторы в нём задают координатами или рисуют на клетчатой бумаге, а спрашивают о длине, скалярном произведении, угле или коэффициентах разложения. В категории уже есть материал о векторах в пространстве; этот материал закрывает именно плоский формат экзамена.

Содержание опирается на элемент кодификатора ЕГЭ 2026 года 7.5 «Координаты и векторы» и требования спецификации к заданию 2: оперировать понятиями вектора, координат вектора, суммы векторов, произведения вектора на число, скалярного произведения и угла между векторами. Четыре вопроса квиза построены на рисунках: векторы на клетчатой бумаге, координаты которых нужно определить по клеткам с учётом направления. Остальные вопросы — координаты вектора по двум точкам, длина линейной комбинации, условия перпендикулярности и коллинеарности, скалярное произведение в квадрате и равностороннем треугольнике, длина суммы через угол, четвёртая вершина параллелограмма.

Неверные варианты построены на типичных ошибках: потерянный знак координаты при направлении «вниз», сумма длин вместо длины суммы, внутренний угол треугольника вместо угла между векторами, отложенными от одной точки, неверный порядок вершин параллелограмма. Пояснения к вопросам показывают, как избежать каждой из них.

Карточки собирают формулы и условия: длина, скалярное произведение в координатах и через угол, перпендикулярность, коллинеарность, разложение по двум векторам. Письменная работа — восемь задач с обоснованием: разложение вектора по рисунку, прямой угол треугольника по векторам, коллинеарность с параметром, длина линейной комбинации через скалярное произведение, векторы в ромбе и правильном шестиугольнике, проекция и перпендикулярный вектор заданной длины. На устном экзамене ученик объясняет, как находит угол между векторами и почему векторы нужно откладывать от одной точки. Материал рассчитан на выпускника 11 класса и подходит для быстрого повторения перед экзаменом. Рисунки на клетчатой бумаге сопровождаются текстовым описанием, поэтому материалом можно пользоваться и на телефоне, и при печати. Полезно сравнивать два способа решения — через координаты и через длины и угол: совпадение ответов служит надёжной самопроверкой. Материал можно пройти за один вечер.

• Определять координаты вектора по клетчатому рисунку и по координатам начала и конца
• Находить длину вектора и линейной комбинации векторов
• Вычислять скалярное произведение в координатах и через длины и угол
• Применять условия перпендикулярности и коллинеарности векторов
• Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам

Кодификатор ЕГЭ 2026 по математике: 7.5 координаты и векторы. Спецификация: задание 2 — вектор, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение, угол между векторами; краткий ответ, 1 балл.