Binomialverteilung: Bernoulli-Ketten

Die Binomialverteilung beschreibt Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen, die mehrfach unabhängig wiederholt werden — vom Münzwurf bis zur Qualitätskontrolle. Dieses Quiz übt die Formel, ihre Kennzahlen und die typischen Anwendungsfälle im Abitur.

Die zehn Fragen behandeln die Bernoulli-Kette als Grundmodell (unabhängige Versuche, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit, genau zwei Ausgänge), die Formel $P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$ mit korrekter Zuordnung von Erfolgs- und Gegenwahrscheinlichkeit, sowie Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und Varianz $V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)$. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X\le k)$ wird von der Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Treffer" abgegrenzt, die effizient über das Gegenereignis $1-(1-p)^n$ berechnet wird — ein Rechentrick, der in vielen Klausuraufgaben Zeit spart.

Auch der Satz von Moivre-Laplace wird thematisiert: Bei großem $n$ nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung an, wobei die sogenannte Laplace-Bedingung ($\sigma>3$, äquivalent zu $n\cdot p\cdot(1-p)>9$) angibt, wann diese Näherung zulässig ist — bewusst als zwei gleichwertige Schreibweisen derselben Bedingung dargestellt, damit beide Formen wiedererkannt werden. Eine Aufgabe zum Baumdiagramm verdeutlicht, dass die Anzahl der Pfade zu einer bestimmten Trefferzahl exakt dem Binomialkoeffizienten entspricht.

Dieses Set eröffnet den Stochastik-Block der Abiturvorbereitung und führt direkt zu den vertiefenden Übungssets zu Erwartungswert/Varianz allgemeiner Zufallsvariablen, Normalverteilung und Hypothesentests — der klassische Aufbau, wie er im Rahmen des IQB-Aufgabenpools für die Abiturprüfung Mathematik erwartet wird.

• Die Formel der Binomialverteilung korrekt anwenden
• Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen berechnen
• Kumulierte Wahrscheinlichkeiten und das Gegenereignis effizient nutzen
• Die Laplace-Bedingung für die Normalapproximation in beiden Schreibweisen erkennen
• Baumdiagramme zur Bestimmung der Pfadanzahl bei Bernoulli-Ketten nutzen

Beispielaufgabe: „Gegeben ist eine Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0{,}2$. Wie lautet der korrekte Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Treffer zu erzielen?" — Lösung: $\binom{10}{3}\cdot0{,}2^3\cdot0{,}8^7$.