Normalverteilung: Grundlagen und Sigma-Regeln
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung im Abitur — sie beschreibt viele natürliche und gemessene Größen und dient als Näherung für die Binomialverteilung bei großem Stichprobenumfang. Dieses Quiz übt die Dichtefunktion, die Standardisierung und die bekannten Sigma-Regeln.
Die zehn Fragen behandeln die Eigenschaften der Dichtefunktion $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ (symmetrisch um den Erwartungswert, dort mit Maximum), die Standardnormalverteilung mit $\mu=0$ und $\sigma=1$, sowie die Transformation einer beliebigen normalverteilten Zufallsvariablen in die Standardnormalverteilung über $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$. Die 68-95-99,7-Regel (Sigma-Regeln) wird systematisch geübt: welcher Anteil der Werte liegt innerhalb von ein, zwei bzw. drei Standardabweichungen um den Erwartungswert.
Eine konkrete Rechenaufgabe mit $\mu=100$ und $\sigma=10$ verlangt die Bestimmung des Intervalls, das 95% der Wahrscheinlichkeitsmasse abdeckt — direkt anwendbares Wissen für Klausuraufgaben zu Prognoseintervallen. Auch die kumulative Verteilungsfunktion $\Phi(z)$ der Standardnormalverteilung wird behandelt, insbesondere ihre Symmetrieeigenschaft $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ und der Wert $\Phi(0)=0{,}5$. Der Wendepunkt der Dichtefunktion — genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt — rundet das geometrische Verständnis der Glockenkurve ab.
Dieses Set baut auf Binomialverteilung und Erwartungswert/Varianz auf und führt zu Hypothesentests, bei denen die Normalapproximation eine zentrale Rolle spielt — der Abschluss des Stochastik-Blocks im Rahmen des IQB-Aufgabenpools für die Abiturprüfung Mathematik.
- Die Dichtefunktion der Normalverteilung und ihre Eigenschaften beschreiben
- Eine normalverteilte Zufallsvariable in die Standardnormalverteilung transformieren
- Die 68-95-99,7-Regel (Sigma-Regeln) auf konkrete Intervalle anwenden
- Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion $Φ(z)$ berechnen
- Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung zur Vereinfachung von Berechnungen nutzen
Beispielaufgabe: „Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit $\mu=100$ und $\sigma=10$. Welcher Wert entspricht dem 95%-Intervall um den Erwartungswert?" — Lösung: näherungsweise $\mu\pm2\sigma$, also $[80,120]$.
Beispielfrage
Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Dichtefunktion der Normalverteilung $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$ korrekt?
- Die Funktion ist für alle $x$ streng monoton steigend.
- Die Funktion besitzt ihr Maximum an der Stelle $x = \mu$.
- Die Fläche unter der gesamten Kurve ist abhängig von $\sigma$.
- Der Wendepunkt der Funktion liegt bei $x = \mu + 2\sigma$.
Antwort anzeigen
Die Funktion besitzt ihr Maximum an der Stelle $x = \mu$.
Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist glockenförmig und symmetrisch um den Erwartungswert $\mu$. Das Maximum liegt bei $x = \mu$. Die Fläche unter der Kurve ist immer 1, unabhängig von $\mu$ und $\sigma$. Die Wendepunkte liegen bei $x = \mu \pm \sigma$.