中考数学：代数综合应用
本课是中考代数的综合练习，把多个模块结合起来：分式方程的增根，含参数不等式组的有解条件，二次函数的增减性与最值，一元二次方程根与系数的关系，利润问题建模，分式值为零的条件，含参数的二次函数与x轴的交点，不等式的基本性质，以及反比例函数的增减性，难度为中等到较难。材料包含10道选择题（含多选题）、12张知识点记忆卡片、8道可打印的手写解答题（部分题目配图），以及一段与考官的口头问答练习。
- 理解分式方程产生增根的原因并能判断增根出现的条件
- 能确定含参不等式组存在解的参数范围
- 掌握二次函数在不同开口方向下的增减性与最值
- 会用韦达定理求解关于两根平方和的参数问题
- 能建立并求解利润最大化的实际应用方程
- 掌握分式值为零需同时满足分子为零且分母不为零的条件
- 理解二次项系数与判别式共同决定函数图象与x轴交点个数
- 掌握不等式两边同乘正数、负数时不等号方向的变化规则
- 理解反比例函数图象在同一象限内的增减性
本材料涵盖分式方程增根的判断、一元二次方程根与系数的关系及含参数的二次方程、不等式组的参数问题，以及 $k<0$ 时反比例函数的增减性。
示例问题
下列关于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) 的性质描述中，正确的是？
- 若 $a > 0$，则函数在 $x < -\frac{b}{2a}$ 时随 $x$ 增大而减小
- 函数图象与 $x$ 轴的交点个数由 $b^2-4ac$ 决定，且一定有两个交点
- 若 $a < 0$，则函数有最大值 $y = \frac{4ac-b^2}{4a}$
- 函数图象的对称轴为 $x = \frac{b}{2a}$
查看答案
若 $a > 0$，则函数在 $x < -\frac{b}{2a}$ 时随 $x$ 增大而减小, 若 $a < 0$，则函数有最大值 $y = \frac{4ac-b^2}{4a}$
若 $a>0$，开口向上，在顶点左侧（$x<-\frac{b}{2a}$）$y$ 随 $x$ 的增大而减小，正确；与 $x$ 轴的交点个数由 $b^2-4ac$ 决定，可能是 2 个、1 个或 0 个，并不一定有两个；若 $a<0$，开口向下，顶点纵坐标 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ 就是最大值，正确；对称轴应为 $x = -\frac{b}{2a}$，不是 $x = \frac{b}{2a}$。
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