Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist das zentrale Konzept der Stochastik im Abitur — sie beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ändert, wenn bereits bekannt ist, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Dieses Quiz übt die Definition, die zugehörigen Rechenwerkzeuge (Vierfeldertafel, Baumdiagramm) und den Satz von Bayes.

Die zehn Fragen behandeln die formale Definition $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, die Bedingungen für stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse ($P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, äquivalent zu $P_A(B)=P(B)$), sowie das korrekte Ablesen von Werten wie $P(A\cap \bar{B})$ aus einer Vierfeldertafel. Der Satz von Bayes wird als Werkzeug zur „Umkehrung" bedingter Wahrscheinlichkeiten eingeführt — von $P(B\mathrm{\mid }A)$ zu $P(A\mathrm{\mid }B)$ — und anhand einer konkreten Rechenaufgabe geübt, bei der aus $P_A(B)=\mathrm{0,8}$ und $P(A)=\mathrm{0,5}$ die Schnittwahrscheinlichkeit $P(A\cap B)$ bestimmt wird.

Auch das Baumdiagramm als grafisches Hilfsmittel wird behandelt: die Pfadmultiplikationsregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades, die Pfadadditionsregel zur Summierung mehrerer Pfade, sowie die Eigenschaft, dass die Summe aller von einem Knoten ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten stets eins ergibt. Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit rundet das Themenfeld ab und verknüpft bedingte Wahrscheinlichkeiten mit der Zerlegung des Ereignisraums.

Dieses Set bildet die Grundlage für die weiteren Stochastik-Übungssets zu Binomialverteilung, Erwartungswert/Varianz, Normalverteilung und Hypothesentests in derselben Kategorie — der vollständige Stochastik-Aufbau, wie er im Rahmen des IQB-Aufgabenpools für die Abiturprüfung Mathematik verlangt wird.

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit formal definieren und berechnen
• Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse prüfen
• Werte aus einer Vierfeldertafel korrekt ablesen und interpretieren
• Den Satz von Bayes zur Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten anwenden
• Baumdiagramme mit Pfadmultiplikations- und Pfadadditionsregel korrekt auswerten

Beispielaufgabe: „Wenn $P_A(B)=0{,}8$ und $P(A)=0{,}5$, wie groß ist $P(A\cap B)$?" — Lösung über $P(A\cap B)=P_A(B)\cdot P(A)=0{,}8\cdot0{,}5=0{,}4$.