La distribución normal

La distribución normal es el modelo de variable aleatoria continua más importante de la Estadística, y en Matemáticas II de Bachillerato cierra el bloque de Probabilidad conectándolo directamente con la distribución binomial estudiada previamente. Este cuestionario repasa la propiedad fundamental de toda función de densidad de probabilidad —el área total bajo la curva es igual a 1— y la notación $N(\mu ,\sigma )$ para representar una normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$.

Se practica intensivamente la tipificación de la variable, el procedimiento que transforma cualquier normal $N(\mu ,\sigma )$ en la normal estándar $N(0,1)$ mediante $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$, paso imprescindible para poder usar la tabla de la $N(0,1)$. Se trabajan las propiedades de simetría de la tabla: $P(Z<0)=0.5$ por la simetría respecto al origen, y la relación entre probabilidades complementarias que permite calcular colas superiores a partir de las inferiores tabuladas.

Un bloque de gran aplicación práctica es la aproximación de la distribución binomial a la normal, válida cuando $n$ es grande y $p$ no está próximo a 0 ni a 1 (criterio habitual: $np>5$ y $n(1-p)>5$), tomando como parámetros de la normal resultante $\mu =np$ y $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$. Se incluye la corrección de continuidad, necesaria al aproximar una variable discreta mediante una continua: para calcular $P(X=k)$ en la binomial mediante la normal, se calcula $P(k-0.5<Y<k+0.5)$.

También se repasa la regla empírica (68-95-99.7): aproximadamente el 95% de los datos de una normal se encuentran dentro de dos desviaciones típicas de la media, y se practica la lectura inversa de la tabla —determinar el valor de $z$ conocida una probabilidad acumulada, como el conocido $z=1.96$ para una probabilidad acumulada de 0.975, valor fundamental en la construcción de intervalos de confianza—.

Con diez preguntas de cálculo directo y comprensión conceptual, este test consolida el manejo de la distribución normal necesario para resolver con seguridad los problemas de probabilidad de la PAU.

• Tipificar una variable normal N(μ,σ) calculando su valor Z correspondiente
• Utilizar las propiedades de simetría de la N(0,1) para calcular probabilidades a partir de la tabla
• Aplicar las condiciones y parámetros de la aproximación de una distribución binomial mediante una normal
• Aplicar la corrección de continuidad al aproximar probabilidades puntuales de una binomial mediante la normal
• Interpretar la regla empírica sobre el porcentaje de datos dentro de un número determinado de desviaciones típicas

Si una variable X~N(10,2), ¿cuál es el valor tipificado Z correspondiente a x=14? El Z-score se calcula como (x-μ)/σ, que es (14-10)/2=2. — Al aplicar la corrección de continuidad para aproximar P(X=k) de una binomial X a una normal Y, se debe calcular el intervalo [k-0.5, k+0.5] en la normal.