Función integral y teorema fundamental del cálculo

En Matemáticas II la integral definida no es solo una forma de calcular áreas: también permite construir funciones nuevas. Si se integra una función continua desde un valor fijo hasta x, se obtiene la función integral, y el teorema fundamental del cálculo afirma que su derivada es precisamente la función integrada. Este resultado, distinto de la regla de Barrow aunque muy relacionado con ella, aparece con frecuencia en la PAU en forma de derivadas de funciones integrales, estudios de extremos o límites. Este material está dedicado a esas preguntas.

Empiezas por el enunciado del teorema fundamental y por su relación con la regla de Barrow: el teorema garantiza que toda función continua tiene primitiva, y Barrow es la herramienta práctica que calcula la integral definida a partir de una primitiva. Después practicas la derivación de funciones integrales cuando los límites de integración dependen de x, aplicando la regla de la cadena, incluido el caso en el que los dos límites son variables. Una vez sabes derivarlas, estudias la monotonía y los extremos relativos de una función integral sin necesidad de calcular la integral, y resuelves límites indeterminados en los que aparece una integral combinando el teorema con la regla de L'Hôpital.

La segunda parte trabaja el teorema del valor medio del cálculo integral, distinguiendo su única hipótesis (la continuidad) de su conclusión, y el cálculo del valor medio de una función en un intervalo. Termina con problemas de áreas con parámetro, del tipo «halla a para que el área encerrada entre dos curvas valga un número dado».

El material ofrece tres formatos. El cuestionario tiene 12 preguntas, cada una con su resolución. Las tarjetas de memoria resumen el teorema fundamental, la derivada con límites variables, la regla de Barrow y el valor medio. La tarea escrita propone 8 ejercicios para resolver a mano: derivadas de funciones integrales, un estudio de extremos, un límite, una función definida por una integral que resulta ser constante y problemas de áreas en los que hay que separar las regiones por encima y por debajo del eje, con su solución de referencia.

Es un material de práctica independiente para estudiar y repasar Matemáticas II de cara a la PAU.

• Enunciar el teorema fundamental del cálculo y distinguirlo de la regla de Barrow
• Derivar funciones integrales con límites variables mediante la regla de la cadena
• Estudiar monotonía y extremos de una función integral
• Calcular límites que contienen integrales con L'Hôpital
• Aplicar el teorema del valor medio integral y resolver áreas con parámetro

Material de práctica elaborado por Zestly a partir de los saberes de Matemáticas II (Real Decreto 243/2022) sobre la integral definida como área bajo una curva y el cálculo de superficies planas.