Équations différentielles et composition de fonctions (PCM STI2D)

Ce matériel, basé sur la partie « Analyse » du programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, traite deux thèmes étroitement liés : les équations différentielles et la composition de fonctions.

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. On commence par vérifier qu'une fonction donnée en est solution, y compris pour des exemples qui ne sont pas du premier ordre, comme y'' + 9y = 0. Le cœur du thème est l'équation y' = ay + b : ses solutions s'écrivent C e^(ax) − b/a, et une condition initiale fixe la constante. Les questions font le lien avec la physique : la loi de décroissance radioactive N' = −λN, la charge d'un condensateur, le refroidissement d'un corps. On y lit la valeur limite, atteinte quand la dérivée s'annule, et la vitesse d'évolution du système.

La composition de fonctions forme le second volet. On apprend à reconnaître la composée v ∘ u dans une expression simple, puis à dériver avec la formule (v ∘ u)' = u' × (v' ∘ u). Les dérivées usuelles de (u(x))^n pour n entier relatif, de cos(u(x)), sin(u(x)), e^(u(x)) et ln(u(x)) sont travaillées sur des exemples concrets, comme la dérivée d'une tension sinusoïdale 325 sin(100πt). En sens inverse, on calcule des primitives en reconnaissant une forme : f(ax + b), u'u^n, u'/u², u'/u, u'e^u, u' cos u et u' sin u.

Les notations y' et dy/dx sont toutes deux utilisées : la seconde, courante en physique, fait apparaître le nom de la variable. Les distracteurs du quiz reprennent les erreurs les plus fréquentes : oubli de la dérivée de l'argument, signe de −b/a, coefficient 1/a oublié dans une primitive.

Le matériel propose un quiz de calculs, des flashcards de formules, un oral d'entraînement et une fiche de huit exercices rédigés : vérification d'une solution, charge d'un condensateur, refroidissement, décroissance radioactive, dérivées de composées, primitives et calcul d'une intégrale par reconnaissance de forme.

• Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
• Résoudre y' = ay + b avec une condition initiale
• Modéliser une charge, un refroidissement ou une décroissance
• Dériver les fonctions composées usuelles
• Reconnaître une forme pour calculer une primitive

Programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, partie « Analyse » : équations différentielles (y' = ay, y' = ay + b, condition initiale) et composition de fonctions (dérivée d'une composée, dérivées et primitives des composées usuelles), avec leur lien avec la loi de décroissance radioactive.