Intégration, exponentielle et logarithme népérien (PCM STI2D)

Ce matériel, basé sur la partie « Analyse » du programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, réunit trois outils utilisés sans cesse en physique : l'intégrale, la fonction exponentielle et le logarithme népérien.

L'intégrale d'une fonction positive est d'abord une aire sous une courbe. Pour une fonction constante ou affine, elle se calcule avec l'aire d'un rectangle ou d'un trapèze ; dans les autres cas, la méthode des rectangles en donne une valeur approchée, et l'on apprend à dire si cette approximation est par défaut ou par excès. Les propriétés (linéarité, positivité, relation de Chasles, bornes inversées) conduisent au calcul par primitive, à la valeur moyenne d'une fonction et à l'aire comprise entre deux courbes. En physique, ces calculs donnent l'énergie mise en jeu à partir de la courbe de la puissance, ou la puissance moyenne sur une durée.

La fonction exponentielle est travaillée par ses propriétés algébriques, la dérivée de e^(kx), ses limites et la croissance comparée, qui permet de trouver la limite d'expressions comme e^x/x ou x e^(−x). Les questions portent sur l'étude des variations de fonctions du type (ax + b) e^(kx), fréquentes dans les modèles de charge, de décharge ou de refroidissement.

Le logarithme népérien est défini comme la solution de l'équation e^x = a. On manipule ses propriétés, sa dérivée, ses limites en 0 et en +∞ et son lien avec le logarithme décimal utilisé pour le pH et le niveau sonore. Il sert surtout à résoudre des équations et inéquations comme e^(ax) = b ou ln(x) > b, par exemple pour calculer une demi-vie ou une durée d'atténuation.

Le matériel propose un quiz de calculs, des flashcards de formules, un oral d'entraînement et une fiche de huit exercices rédigés : étude d'une fonction exponentielle, calcul d'aire, énergie et puissance moyenne, méthode des rectangles, équations et inéquations, simplification de logarithmes et calcul d'un pH.

• Calculer une intégrale par une aire ou par une primitive
• Approcher une intégrale par la méthode des rectangles
• Calculer une valeur moyenne et une aire entre deux courbes
• Étudier les variations d'une fonction faisant intervenir e^(kx)
• Résoudre des équations et inéquations avec exponentielle et logarithme

Programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, partie « Analyse » : intégration (aire, méthode des rectangles, propriétés, valeur moyenne, primitive), fonction exponentielle de base e, fonction logarithme népérien, avec leurs liens avec la physique-chimie.