Nombres complexes (PCM STI2D)

Ce matériel, basé sur la partie « Nombres complexes » du programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, présente les complexes comme un outil de calcul, en particulier pour le régime électrique sinusoïdal.

Le point de départ est l'exponentielle complexe e^(iθ) = cos θ + i sin θ. On apprend à écrire un nombre complexe non nul sous la forme r e^(iθ), en calculant son module et un argument à l'aide des valeurs remarquables, puis à revenir à la forme algébrique. La forme exponentielle rend simples le produit et le quotient : on multiplie ou on divise les modules, on ajoute ou on soustrait les arguments.

Les formules trigonométriques en découlent : formules d'addition pour cos(a + b) et sin(a + b), formules de duplication, puis linéarisation de cos² θ et sin² θ. Cette linéarisation sert à calculer des primitives et des intégrales, par exemple la valeur moyenne de sin²(ωt) sur une période, égale à 1/2, qui intervient dans le calcul de la puissance active.

Une capacité importante pour la physique consiste à transformer a cos(ωt) + b sin(ωt) en A cos(ωt + φ), avec A = √(a² + b²) et un angle φ dont il faut bien choisir le signe, et inversement. On résout aussi des équations dans ℂ : équations du premier degré et équations z² = a pour a réel, dont les solutions sont imaginaires pures lorsque a est négatif.

Sur le plan géométrique, z ↦ z + b est une translation, z ↦ az une homothétie de centre O lorsque a est un réel non nul, une rotation de centre O lorsque a est de module 1. Enfin, la représentation complexe d'une tension ou d'une intensité sinusoïdale permet d'additionner des grandeurs déphasées en additionnant simplement des complexes.

Le matériel propose un quiz de calculs, des flashcards de formules, un oral d'entraînement et une fiche de huit exercices rédigés : conversion de formes, produit et quotient, formules d'addition et de duplication, linéarisation et intégrale, transformation a cos + b sin, équations, transformations du plan et loi des nœuds en régime sinusoïdal.

• Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement
• Utiliser les formules d'addition, de duplication et de linéarisation
• Écrire une somme a cos + b sin sous la forme A cos(ωt + φ)
• Résoudre des équations simples dans ℂ
• Interpréter géométriquement une translation, une homothétie, une rotation
• Additionner des grandeurs sinusoïdales à l'aide des complexes

Programme de mathématiques de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STI2D, partie « Nombres complexes » : exponentielle complexe, forme r e^(iθ), formules d'addition et de duplication, linéarisation de cos² et sin², transformation a cos(ωt) + b sin(ωt), équations dans ℂ, expression complexe des translations, rotations et homothéties, lien avec le régime électrique sinusoïdal.