Trigonometria: triangoli rettangoli e qualsiasi

La trigonometria applicata ai triangoli è lo strumento che permette di calcolare lati, angoli e aree a partire da poche misure, ed è alla base di molti problemi pratici: l'altezza di un edificio, la distanza tra due punti separati da un ostacolo, il raggio di una circonferenza. Nel triennio del liceo scientifico è un argomento che ritorna spesso nei quesiti della seconda prova, anche dentro problemi di geometria o di ottimizzazione. Questo materiale ti aiuta a ripassarlo con esercizi numerici completi.

Si parte dai teoremi sui triangoli rettangoli: un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente, e all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto. Con questi teoremi impari a risolvere un triangolo rettangolo e a ricavare un angolo dal rapporto tra due lati. Si passa poi ai triangoli qualsiasi: la formula dell'area $\frac{1}{2}ab\sin \gamma$, il teorema della corda, il teorema dei seni (anche nella forma estesa con il raggio della circonferenza circoscritta) e il teorema del coseno, o di Carnot, che generalizza il teorema di Pitagora.

Un punto delicato è il caso ambiguo: quando sono noti due lati e l'angolo opposto a uno di essi, i triangoli possibili possono essere due, uno o nessuno, e il materiale ti allena a riconoscerlo. Altrettanto importante è scegliere il teorema giusto in base ai dati: due lati e l'angolo compreso, due angoli e un lato, tre lati. Le applicazioni pratiche chiudono il percorso, con problemi di misura di altezze e distanze.

Il materiale offre un quiz con misure scritte nel testo di ogni domanda, valori esatti degli angoli notevoli e una spiegazione per ogni risposta; un mazzo di flashcard con teoremi, formule e criteri di scelta; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui la distanza tra due punti sulle rive di uno stagno e l'altezza di una torre osservata da due punti; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede una formula o un ragionamento alla volta.

Il livello è quello del triennio del liceo scientifico. Gli esercizi sono originali e pensati per l'allenamento: i distrattori del quiz riproducono gli errori più frequenti, come confondere seno e coseno, dimenticare che $\cos {120}^{\circ }$ è negativo o non accorgersi delle due soluzioni del caso ambiguo.

• Applicare i teoremi sui triangoli rettangoli e risolvere un triangolo rettangolo
• Calcolare un angolo dal rapporto tra due lati
• Calcolare l'area di un triangolo con la formula $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
• Usare il teorema della corda e il teorema dei seni
• Usare il teorema del coseno per trovare lati e angoli
• Riconoscere il caso ambiguo e scegliere il teorema adatto ai dati

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.