Equazioni e disequazioni goniometriche

Le equazioni e le disequazioni goniometriche compaiono spesso nella seconda prova del liceo scientifico, da sole o dentro uno studio di funzione: trovare dove una funzione si annulla, dove è positiva, quanti punti di intersezione ha con una retta. La difficoltà tipica non è il calcolo, ma la completezza: dimenticare una famiglia di soluzioni o sbagliare il periodo costa punti anche quando il metodo è giusto. Questo materiale ti aiuta a ripassare tutti i tipi principali con equazioni scritte per intero.

Si parte dalle equazioni elementari $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$ e dalla loro soluzione generale con $k\in \mathbb{Z}$, ricordando che il seno e il coseno hanno periodo $2\pi$ e la tangente $\pi$, e che un'equazione come $\sin x=2$ è impossibile. Si passa poi alle equazioni riconducibili a elementari, con un argomento come $2x$ o $x-\frac{\pi }{3}$, e alle equazioni di secondo grado in una funzione goniometrica, anche quando servono le identità per scriverle in una sola funzione.

La parte centrale riguarda i metodi per le equazioni con seno e coseno insieme: le equazioni lineari $a\sin x+b\cos x=c$, risolte mettendole a sistema con l'identità fondamentale o con le formule parametriche (senza dimenticare il valore che queste escludono), e le equazioni omogenee di secondo grado, in cui si divide per ${\cos }^{2}x$ dopo aver controllato che $\cos x=0$ non sia soluzione. Le disequazioni si risolvono leggendo la circonferenza goniometrica: l'ordinata per il seno, l'ascissa per il coseno, con attenzione agli estremi e agli asintoti della tangente. Chiude il percorso il conteggio delle soluzioni in un intervallo dato.

Il materiale offre un quiz con l'equazione scritta nel testo di ogni domanda e una spiegazione del procedimento; un mazzo di flashcard con le soluzioni generali e i metodi; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui un'equazione con parametro e una disequazione di secondo grado nel seno; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede un metodo alla volta.

Il livello è quello del triennio del liceo scientifico. Gli esercizi sono originali e completano il materiale sulle formule fondamentali della goniometria della stessa categoria, concentrandosi sulla risoluzione.

• Scrivere la soluzione generale delle equazioni elementari in seno, coseno e tangente
• Risolvere equazioni riconducibili a elementari e di secondo grado in una funzione goniometrica
• Risolvere equazioni lineari in seno e coseno con il sistema o con le formule parametriche
• Risolvere equazioni omogenee senza perdere soluzioni
• Risolvere disequazioni goniometriche con la circonferenza goniometrica
• Contare le soluzioni di un'equazione in un intervallo dato

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.