I solidi di rotazione: cilindro, cono e sfera

Cilindro, cono e sfera sono i solidi di rotazione che si studiano nella classe terza della scuola secondaria di primo grado: si ottengono facendo girare una figura piana attorno a una retta, l'asse di rotazione. Sono l'ultimo capitolo della geometria solida del primo ciclo e compaiono spesso nei problemi di fine anno, da soli o combinati in solidi composti, e nei quesiti di realtà su barattoli, serbatoi e oggetti di uso comune.

Il materiale parte dalla generazione dei solidi: un rettangolo che ruota attorno a un lato forma un cilindro, un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto forma un cono, un semicerchio che ruota attorno al diametro forma una sfera. Capire quale segmento della figura piana diventa l'altezza, il raggio o l'apotema è il primo passo per impostare correttamente qualsiasi problema.

Si passa poi alle misure. Per il cilindro calcoli l'area laterale, l'area totale e il volume, e usi le formule inverse per trovare l'altezza noti il volume o l'area laterale. Per il cono ricavi l'apotema con il teorema di Pitagora, poi l'area laterale, l'area totale e il volume, e scopri perché il volume del cono è un terzo di quello del cilindro con la stessa base e la stessa altezza. Per la sfera usi le formule della superficie, $4\pi r^2$, e del volume, $\frac{4}{3}\pi r^3$. I risultati si esprimono in funzione di $\pi$ oppure con il valore approssimato $3,14$, e si convertono in litri ricordando che $1$ dm³ corrisponde a $1$ L.

L'ultima parte riguarda i solidi composti, come un cilindro sormontato da una semisfera, una capsula o il doppio cono generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno all'ipotenusa, dove servono anche i teoremi di Euclide.

Il materiale offre un quiz a risposta singola i cui distrattori riproducono gli errori più comuni: il diametro al posto del raggio, il fattore $\frac{1}{3}$ dimenticato, l'area laterale al posto di quella totale, l'altezza al posto dell'apotema. Ci sono poi un mazzo di flashcard con le formule da ricordare, una prova scritta da stampare con otto problemi da svolgere a mano e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti fa una domanda alla volta e ti chiede di spiegare il procedimento.

Il livello è quello della classe terza della scuola secondaria di primo grado. Gli esercizi sono originali e ogni solido è descritto per intero nel testo.

• Riconoscere il solido generato dalla rotazione di una figura piana
• Calcolare area laterale, area totale e volume del cilindro, anche con le formule inverse
• Ricavare l'apotema del cono e calcolarne aree e volume
• Calcolare superficie e volume della sfera
• Risolvere problemi su solidi composti
• Esprimere i risultati in funzione di $\pi$ e convertire i volumi in litri

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.