La similitudine e i teoremi di Euclide

Due figure sono simili quando hanno la stessa forma, anche se le loro dimensioni sono diverse: una fotografia ingrandita, la pianta di un appartamento, la carta di una regione. La similitudine è uno degli argomenti di geometria del triennio della scuola secondaria di primo grado e in terza media porta ai teoremi di Euclide, che completano lo studio del triangolo rettangolo iniziato con il teorema di Pitagora.

Il materiale parte dalla definizione: due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione. Da qui nasce il rapporto di similitudine, con cui si calcola un lato mancante impostando una proporzione. Si studia poi che cosa accade alle altre misure: i perimetri stanno nello stesso rapporto dei lati, mentre le aree stanno nel rapporto del suo quadrato. È l'errore più frequente nei problemi, ed è per questo che il materiale ci torna più volte. Seguono i criteri di similitudine dei triangoli, che permettono di riconoscere due triangoli simili senza controllare tutti gli angoli e tutti i lati.

La similitudine diventa poi uno strumento per risolvere problemi di realtà: l'altezza di un albero o di una torre ricavata dalla sua ombra e da quella di un bastone, le distanze reali lette su una carta o su una pianta in scala, l'area reale di una stanza disegnata. L'ultima parte è dedicata al triangolo rettangolo: la proiezione di un cateto sull'ipotenusa, il primo teorema di Euclide ($c^2=i\cdot p$) e il secondo ($h^2=p_1\cdot p_2$), con esercizi in cui i risultati si controllano anche con il teorema di Pitagora o con l'area.

Il materiale offre un quiz a risposta singola i cui distrattori riproducono gli errori tipici, come il rapporto non elevato al quadrato per le aree, la proporzione invertita o la proiezione sbagliata; un mazzo di flashcard con definizioni, criteri e teoremi; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, con la descrizione completa di ogni figura; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti fa una domanda alla volta e ti chiede di giustificare ogni passaggio.

Il livello è quello della classe terza della scuola secondaria di primo grado. Gli esercizi sono originali e scelti con misure che danno risultati controllabili a mano.

• Riconoscere figure simili e calcolare il rapporto di similitudine
• Calcolare lati, perimetri e aree di figure simili
• Applicare i criteri di similitudine dei triangoli
• Risolvere problemi con ombre, scale e piante
• Enunciare e applicare il primo teorema di Euclide
• Enunciare e applicare il secondo teorema di Euclide e controllare i risultati con Pitagora

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.