Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen

Erwartungswert und Varianz sind die zentralen Kennzahlen zur Beschreibung diskreter Zufallsvariablen — sie beantworten die Fragen „Was ist im Mittel zu erwarten?" und „Wie stark streuen die Ergebnisse um diesen Mittelwert?". Dieses Quiz übt beide Konzepte anhand konkreter Verteilungen und Anwendungsbeispiele.

Die zehn Fragen behandeln die Berechnung von $E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$ für eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung, den Verschiebungssatz $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ als Alternative zur direkten Definition über quadrierte Abweichungen, sowie das Verhalten von Erwartungswert und Varianz unter linearen Transformationen ($E(aX+b)=a\cdot E(X)+b$ bzw. $V(aX+b)=a^2\cdot V(X)$ — die Varianz ist invariant gegenüber Verschiebungen, skaliert aber quadratisch mit dem Faktor). Ein durchgerechnetes Glücksspiel-Beispiel (Würfelspiel mit Einsatz und Gewinnchance) zeigt, wie der Erwartungswert des Reingewinns über die Differenz von Gewinn- und Verlustszenario berechnet wird, und führt zum Konzept des „fairen Spiels" mit Erwartungswert null.

Auch die Varianz einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ($V(X)=p(1-p)$) wird als Spezialfall hergeleitet, und die Bedeutung der Varianz als Risikomaß wird eingeordnet: eine hohe Varianz signalisiert starke Schwankungen um den Erwartungswert, während eine Varianz von null ein konstantes, risikofreies Ergebnis bedeutet.

Dieses Set setzt die Binomialverteilung fort und verallgemeinert die dort geübten Kennzahlen auf beliebige diskrete Zufallsvariablen — eine wichtige Erweiterung für die Stochastik-Aufgaben im Rahmen des IQB-Aufgabenpools für die Abiturprüfung Mathematik.

• Den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen berechnen
• Die Varianz über den Verschiebungssatz und die Definitionsformel bestimmen
• Erwartungswert und Varianz unter linearen Transformationen richtig anpassen
• Den Erwartungswert bei Glücksspielen berechnen und ein faires Spiel erkennen
• Die Bedeutung der Varianz als Streuungs- und Risikomaß einordnen

Beispielaufgabe: „Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Man würfelt mit einem fairen sechsseitigen Würfel. Bei einer 6 erhält man 10 Euro, sonst nichts. Welcher Erwartungswert ergibt sich für den Reingewinn?" — Lösung: $E=8\cdot\frac16-2\cdot\frac56\approx-0{,}33$ Euro.