Álgebra matricial aplicada a la economía

El álgebra matricial es una de las herramientas más potentes de las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, porque permite modelar relaciones económicas complejas de forma compacta y operable. Esta lección repasa las operaciones básicas con matrices (suma, producto por escalar, multiplicación, trasposición) y las condiciones para que una matriz cuadrada tenga inversa, un requisito indispensable para resolver muchos modelos económicos por vía matricial.

El eje central de la lección es el modelo input-output de Leontief, un clásico de la economía aplicada que en Selectividad aparece con frecuencia bajo el epígrafe de "aplicaciones económicas de las matrices". Se explica el significado de la matriz de coeficientes técnicos A, cuyos elementos a_ij indican cuánto insumo del sector i se necesita para producir una unidad del sector j, y se presenta la ecuación fundamental X = (I − A)⁻¹ · D, que permite calcular el vector de producción total X necesario para satisfacer una demanda final D dada.

Las preguntas del cuestionario alternan entre preguntas conceptuales (qué representa cada elemento de la matriz de coeficientes, cuándo existe la inversa de una matriz, qué operaciones son posibles entre matrices de distintas dimensiones) y preguntas de interpretación numérica sobre una matriz de coeficientes técnicos concreta. Las tarjetas de repaso refuerzan las propiedades algebraicas: conmutatividad de la suma, comportamiento de la trasposición, papel de la matriz identidad como elemento neutro del producto.

Esta combinación de cálculo matricial puro y aplicación económica es exactamente lo que se exige en el bloque de Álgebra de la asignatura, y sirve tanto para repasar antes de un examen de evaluación como para preparar la parte correspondiente de la prueba de acceso a la universidad.

• Realizar operaciones básicas con matrices: suma, producto por escalar, multiplicación y trasposición.
• Determinar cuándo una matriz cuadrada admite inversa y qué condición sobre el determinante lo garantiza.
• Interpretar el significado económico de una matriz de coeficientes técnicos en el modelo de Leontief.
• Aplicar la ecuación X = (I − A)⁻¹ · D para relacionar producción total y demanda final.
• Reconocer qué operaciones matriciales son posibles según las dimensiones de las matrices implicadas.

"En el modelo de Leontief, ¿qué representa la matriz de coeficientes técnicos A?" — la matriz A recoge, para cada par de sectores i y j, la cantidad de input del sector i necesaria para producir una unidad de output del sector j (coeficiente a_ij). A partir de ella, la ecuación X = (I − A)⁻¹ · D permite calcular el vector de producción total X que satisface una demanda final D, siendo I la matriz identidad.