Sistemas de ecuaciones aplicados a problemas económicos

Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta habitual en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II para modelar situaciones de equilibrio de mercado, reparto de recursos entre productos, o relaciones entre distintas magnitudes económicas. Esta lección repasa el método de Gauss para resolver sistemas mediante operaciones elementales de fila (intercambiar filas, multiplicar por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) hasta obtener una forma triangular equivalente.

Se dedica especial atención a la discusión de sistemas mediante el teorema de Rouché-Frobenius: comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada se determina si el sistema es compatible determinado (solución única), compatible indeterminado (infinitas soluciones, con variables libres) o incompatible (sin solución, cuando aparece una fila del tipo 0 = k con k distinto de cero).

El cuestionario aplica estas ideas a dos contextos económicos típicos de la asignatura: el equilibrio de mercado, igualando funciones de oferta y demanda para hallar el precio de equilibrio (incluyendo el efecto de un impuesto por unidad, que desplaza la curva de oferta), y los modelos de producción con varios recursos y varios productos, donde la matriz de coeficientes recoge el consumo de cada recurso por unidad de cada artículo. Las tarjetas de repaso resumen la terminología clave (matriz ampliada, rango, variables libres, operaciones elementales) que conviene tener automatizada antes de enfrentarse a un problema de discusión y resolución de sistemas en un examen o en la prueba de Selectividad.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y sus operaciones elementales de fila.
• Discutir un sistema de ecuaciones aplicando el teorema de Rouché-Frobenius (compatible determinado, indeterminado o incompatible).
• Identificar la matriz ampliada de un sistema y su papel en el proceso de resolución.
• Calcular el precio de equilibrio de un mercado igualando las funciones de oferta y demanda.
• Modelar el consumo de recursos en la producción de varios artículos mediante una matriz de coeficientes.

"Al aplicar el método de Gauss a un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué condiciones indican que el sistema es incompatible?" — un sistema es incompatible si, tras triangular la matriz, aparece una fila donde todos los coeficientes de las incógnitas son cero pero el término independiente es distinto de cero (0 = k, k≠0). En un mercado con oferta O(p) = 2p − 10 y demanda D(p) = 50 − p, el precio de equilibrio se halla igualando ambas funciones: 2p − 10 = 50 − p, de donde p = 20.