Optimización de funciones económicas

La optimización de funciones es uno de los bloques con mayor peso práctico en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, ya que conecta directamente el cálculo diferencial con la toma de decisiones empresariales. Esta lección repasa cómo hallar los máximos y mínimos de funciones de beneficio, coste e ingreso mediante las condiciones de primer y segundo orden: se iguala la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos, y se analiza el signo de la segunda derivada para determinar si se trata de un máximo (segunda derivada negativa) o un mínimo (segunda derivada positiva).

Se practica el caso clásico de una función de beneficio cuadrática, donde el vértice de la parábola señala directamente el nivel de producción óptimo, así como la condición de maximización del beneficio mediante la igualdad entre ingreso marginal y coste marginal (IMg = CMg), un resultado fundamental de la microeconomía que en el cuestionario se aplica a funciones lineales concretas. También se repasa el concepto de coste medio y su relación con el coste marginal, y el punto de equilibrio (break-even) donde el ingreso total iguala al coste total.

Las preguntas combinan cálculo directo (derivar una función de beneficio, hallar el punto de producción óptimo) con preguntas conceptuales sobre las condiciones necesarias y suficientes de un extremo relativo, un contenido que se evalúa tanto en las pruebas de evaluación continua como en la parte de Análisis de la Selectividad. Las tarjetas de repaso recogen los pasos del procedimiento de optimización de forma esquemática, útiles para memorizar el orden correcto de los cálculos antes de un examen.

• Aplicar las condiciones de primer y segundo orden para hallar máximos y mínimos de funciones económicas.
• Determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio de una función cuadrática.
• Aplicar la condición de maximización del beneficio mediante la igualdad entre ingreso marginal y coste marginal.
• Distinguir entre un máximo y un mínimo a partir del signo de la segunda derivada.
• Calcular e interpretar el punto de equilibrio (break-even) de una empresa.

"Dada una función de beneficio π(x) = −2x² + 80x − 300, ¿cuál es el nivel de producción x que maximiza el beneficio?" — la derivada es π'(x) = −4x + 80; igualándola a cero se obtiene x = 20. "Si el ingreso marginal es IMg = 50 − 2x y el coste marginal es CMg = 10 + 2x, ¿cuál es la cantidad que maximiza el beneficio?" — igualando IMg = CMg: 50 − 2x = 10 + 2x, de donde 40 = 4x y x = 10.