La distribución normal aplicada a las ciencias sociales

La distribución normal es el modelo de probabilidad continuo más importante de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, tanto por sus aplicaciones directas (puntuaciones de tests, distribución de ingresos, errores de medición en encuestas) como por su papel como aproximación de la distribución binomial cuando el número de pruebas es grande. Esta lección repasa la tipificación de una variable normal N(μ, σ) mediante Z = (X − μ) / σ, procedimiento imprescindible para poder usar la tabla de la normal estándar N(0,1).

Se trabajan las propiedades de la curva normal: simetría respecto a la media, área total bajo la curva igual a 1, y su carácter asintótico respecto al eje de abscisas (se aproxima a él indefinidamente sin llegar nunca a tocarlo). Se practica la lectura de la tabla N(0,1) para hallar probabilidades acumuladas P(Z ≤ z), el cálculo de probabilidades a la derecha mediante la propiedad del complemento (P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z)), y el uso de la simetría para relacionar P(Z ≤ −z) con P(Z ≤ z).

Un bloque específico se dedica a la aproximación de la binomial B(n,p) por la normal N(μ,σ), con μ = n·p y σ = √(n·p·(1−p)), aplicable en ciencias sociales cuando se cumple la condición n·p > 5 y n·(1−p) > 5. Las tarjetas de repaso resumen la regla empírica 68-95-99.7, la corrección por continuidad al aproximar una variable discreta por una continua, y los valores críticos de z para los niveles de confianza más habituales, contenidos que enlazan directamente con las lecciones de intervalos de confianza de esta misma serie.

• Tipificar una variable normal N(μ, σ) mediante la fórmula Z = (X − μ) / σ.
• Utilizar la tabla de la distribución normal estándar N(0,1) para calcular probabilidades acumuladas.
• Aplicar la propiedad de simetría de la normal para relacionar P(Z ≤ −z) con P(Z ≤ z).
• Aproximar una distribución binomial B(n,p) mediante una normal N(μ,σ) cuando se cumplen las condiciones adecuadas.
• Reconocer aplicaciones de la distribución normal en ciencias sociales: tests, ingresos y errores de medición.

"Al tipificar una variable aleatoria X con media μ y desviación típica σ, ¿cuál es la expresión matemática que permite obtener la variable normal estándar Z?" — Z = (X − μ) / σ. "Al aproximar una binomial B(n,p) por una normal, ¿qué parámetros se utilizan para definir la distribución normal N(μ,σ)?" — la media es μ = n·p y la desviación típica es σ = √(n·p·(1−p)).