Derivadas: coste marginal e ingreso marginal

Las derivadas son la herramienta central del análisis marginal en economía, uno de los contenidos con mayor peso en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Esta lección presenta el coste marginal y el ingreso marginal como las derivadas de las funciones de coste total e ingreso total respectivamente, e insiste en su interpretación económica: el coste marginal en un punto x aproxima el coste de producir una unidad adicional (la unidad x+1), y el ingreso marginal representa el ingreso adicional obtenido por vender esa unidad extra.

Se trabaja también el beneficio marginal como diferencia entre ingreso marginal y coste marginal (B'(x) = I'(x) − C'(x)), y su relación con la condición de primer orden para maximizar el beneficio: cuando la derivada del beneficio se anula, la empresa se encuentra en un punto crítico que puede ser un máximo. Un bloque de preguntas aborda la relación geométrica entre el coste marginal y el coste medio, que se cortan precisamente en el punto donde el coste medio alcanza su mínimo, una propiedad clásica de la microeconomía que suele aparecer en los exámenes de Selectividad.

El cuestionario alterna cálculos directos de derivadas de funciones polinómicas sencillas con preguntas de razonamiento económico: qué debe hacer una empresa cuando el ingreso marginal supera al coste marginal, o qué implicaciones tiene que la derivada del beneficio sea cero en un punto concreto. Las tarjetas de repaso resumen las reglas de derivación básicas (potencia, constante) junto con las definiciones económicas clave, facilitando un repaso rápido antes de abordar problemas de optimización más complejos.

• Calcular el coste marginal y el ingreso marginal como derivadas de las funciones de coste e ingreso total.
• Interpretar económicamente el significado de la derivada como aproximación al coste o ingreso de la siguiente unidad producida.
• Calcular el beneficio marginal como diferencia entre ingreso marginal y coste marginal.
• Relacionar la condición de derivada nula con un punto crítico de la función de beneficio.
• Explicar la relación geométrica entre el coste marginal y el coste medio en su punto mínimo.

"Si la función de coste total de una empresa es C(x) = 0.5x² + 10x + 100, ¿cuál es la expresión del coste marginal?" — el coste marginal es la derivada de la función de coste total: derivando 0.5x² + 10x + 100 respecto a x se obtiene C'(x) = x + 10. "Si I'(x) > C'(x), ¿qué debería hacer la empresa para aumentar su beneficio?" — aumentar la producción, ya que cada unidad adicional aporta más ingreso que coste.