La distribución binomial aplicada a las ciencias sociales

La distribución binomial es el modelo de probabilidad discreto de referencia para fenómenos con solo dos resultados posibles (éxito/fracaso), y en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II se estudia siempre ligada a contextos de encuestas y estudios sociales: intención de voto, uso de un servicio, preferencia por un producto. Esta lección repasa la notación X ~ B(n, p), donde n es el número fijo de pruebas independientes y p la probabilidad constante de éxito en cada una, así como las condiciones necesarias para que un experimento pueda modelarse como binomial: independencia de las pruebas y probabilidad constante entre ensayos.

Se trabajan las fórmulas de la media (μ = n·p) y la varianza (σ² = n·p·(1−p)), y se analiza cómo varía la varianza según el valor de p: es máxima cuando p se acerca a 0.5 y mínima en los extremos (p cercano a 0 o a 1). El cuestionario incluye también el cálculo de probabilidades puntuales sencillas, como la probabilidad de que ninguna persona de una muestra presente cierta característica, y la estimación puntual de una proporción poblacional a partir de una muestra observada (por ejemplo, 40 de 100 personas).

Las preguntas combinan cálculo numérico directo con razonamiento sobre cómo cambian la media y la varianza al modificar n o p, contenidos que preparan directamente para la siguiente lección de esta serie sobre la aproximación de la binomial por la distribución normal. Las tarjetas de repaso resumen las fórmulas y condiciones del modelo binomial de forma esquemática.

• Identificar las condiciones necesarias para modelar un experimento mediante una distribución binomial B(n, p).
• Calcular la media (μ = n·p) y la varianza (σ² = n·p·(1−p)) de una distribución binomial.
• Analizar cómo varía la varianza de una binomial según el valor de p.
• Calcular probabilidades puntuales sencillas de una distribución binomial, como la probabilidad de cero éxitos.
• Obtener la estimación puntual de una proporción poblacional a partir de una muestra.

"En una encuesta sobre intención de voto, se selecciona una muestra aleatoria de 10 personas. Si la probabilidad de que una persona vote por el partido A es 0.4, ¿qué representa el parámetro n en este modelo binomial?" — n representa el número fijo de pruebas independientes, en este caso las 10 personas de la muestra. "Si X ~ B(10, 0.5), la media es μ = n·p = 10·0.5 = 5."