Límites y continuidad en funciones económicas

El estudio de límites y continuidad es la puerta de entrada al bloque de Análisis de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, y resulta imprescindible para comprender más adelante las derivadas y sus aplicaciones económicas. Esta lección repasa el cálculo de límites de funciones racionales, la detección y clasificación de discontinuidades (evitables, de salto finito, asintóticas) y el cálculo de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, todo ello aplicado a funciones típicas del análisis económico: funciones de coste, ingreso y demanda.

Se trabaja el concepto de asíntota vertical como indicador de que una magnitud económica (por ejemplo, un coste unitario) tiende a infinito cuando la variable se aproxima a un valor crítico, y se practica el cálculo de asíntotas oblicuas mediante división polinómica, relevante quandoo el grado del numerador supera en uno al del denominador. También se repasa la simplificación de expresiones racionales del tipo (x²−9)/(x−3) para identificar discontinuidades evitables, y el uso del teorema de los valores intermedios (o de Bolzano en su forma más general) para justificar la existencia de un valor concreto dentro de un intervalo en el que una función continua está definida.

El cuestionario combina preguntas de cálculo directo (hallar una asíntota concreta, evaluar el comportamiento cerca de un punto de discontinuidad) con preguntas de interpretación económica del concepto de continuidad, un enfoque característico de esta modalidad de Bachillerato. Las tarjetas de repaso recogen las definiciones formales de continuidad y los distintos tipos de discontinuidad, útiles como chuleta de última hora antes de un examen.

• Calcular límites de funciones racionales aplicadas a contextos económicos.
• Determinar y clasificar los tipos de discontinuidad de una función (evitable, de salto, asintótica).
• Calcular asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones de coste, ingreso o demanda.
• Aplicar el teorema de los valores intermedios para justificar la existencia de un valor dentro de un intervalo.
• Interpretar económicamente el significado de una asíntota o una discontinuidad en una función de coste o ingreso.

"Para la función de beneficio B(x) = x² / (x−10), ¿cuál es la asíntota oblicua?" — al realizar la división polinómica de x² entre x−10 se obtiene x + 10 con un resto, por lo que la recta y = x + 10 es la asíntota oblicua. "Si una función de coste C(x) es continua en el intervalo [0, 100], ¿qué teorema garantiza que existe un valor c tal que C(c) = k para cualquier k entre C(0) y C(100)?" — el teorema de los valores intermedios.