Determinantes y su cálculo

El cálculo de determinantes es una herramienta transversal del bloque de Álgebra Lineal en Matemáticas II de Bachillerato: permite decidir si una matriz es invertible, calcular su inversa, determinar el rango de una matriz y clasificar sistemas de ecuaciones lineales mediante el teorema de Rouché-Frobenius, todos ellos contenidos habituales de la prueba de Selectividad/EBAU.

Este cuestionario repasa el cálculo del determinante de matrices $3\times 3$ mediante la regla de Sarrus, que organiza los productos de las diagonales principales (con signo positivo) y las diagonales secundarias (con signo negativo), así como el desarrollo por adjuntos o cofactores a lo largo de una fila o columna, técnica que generaliza el cálculo a matrices de cualquier orden y que requiere aplicar el signo $(-1)^{i+j}$ correspondiente a la posición del elemento.

Se trabajan en profundidad las propiedades de los determinantes que permiten simplificar cálculos sin necesidad de desarrollar la matriz completa: el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta; si una matriz tiene dos filas o columnas iguales (o proporcionales) su determinante es cero, ya que implica dependencia lineal; multiplicar una fila por un escalar k multiplica el determinante completo por k; y las operaciones elementales de sumar a una fila un múltiplo de otra no alteran el valor del determinante, propiedad clave del método de Gauss aplicado a determinantes.

También se aborda el caso particular de las matrices triangulares, cuyo determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal, y la propiedad multiplicativa del determinante de un producto de matrices, $\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)$. Finalmente, se conecta el valor del determinante con el rango de la matriz: si el rango de una matriz cuadrada de orden n es menor que n, su determinante es necesariamente cero, lo que la convierte en una matriz singular (no invertible).

Con diez preguntas que combinan cálculo directo y razonamiento sobre propiedades, este test prepara al alumnado para aplicar los determinantes con soltura en los problemas de matrices y sistemas de ecuaciones del examen de acceso a la universidad.

• Calcular el determinante de una matriz 3×3 aplicando la regla de Sarrus
• Desarrollar un determinante por adjuntos a lo largo de una fila o columna
• Aplicar las propiedades de los determinantes (filas iguales, factor común, operaciones elementales) para simplificar cálculos
• Relacionar el valor del determinante con la existencia de la matriz inversa y con el rango de la matriz
• Calcular el determinante de matrices triangulares y del producto de dos matrices cuadradas

Para una matriz A de orden 3×3, ¿cuál es la expresión correcta del determinante según la regla de Sarrus? La regla de Sarrus establece que el determinante es la suma de los productos de las diagonales principales menos la suma de los productos de las diagonales secundarias. — Si una matriz cuadrada A tiene dos filas iguales, su determinante es cero.