Números complejos: operaciones

Los números complejos amplían el conjunto de los números reales para permitir la resolución de ecuaciones polinómicas sin solución real, como $x^2+1=0$, mediante la unidad imaginaria $i$, que cumple $i^2=-1$. Este cuestionario de Matemáticas II de Bachillerato repasa las operaciones básicas en forma binómica $z=a+bi$: suma, resta y producto, este último aplicando la propiedad distributiva y sustituyendo $i^2=-1$.

Se trabaja el cálculo del módulo $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (la distancia del punto al origen en el plano complejo) y del conjugado $\bar{z}=a-bi$, cuya interpretación geométrica es una reflexión respecto al eje real. El cuestionario introduce la forma polar $z=r_\alpha$ y trigonométrica $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, exigiendo especial cuidado en la determinación del cuadrante correcto del argumento a partir del signo de las componentes real e imaginaria —un punto donde el alumnado comete errores frecuentes al confundir el argumento de referencia con el argumento real—.

Se practica la fórmula de De Moivre, $[r_\alpha]^n=(r^n)_{n\alpha}$, que multiplica el argumento por el exponente al elevar un número complejo a una potencia, y su aplicación inversa al cálculo de raíces n-ésimas: un número complejo tiene exactamente $n$ raíces n-ésimas distintas, todas con el mismo módulo $\sqrt[n]{r}$, distribuidas simétricamente formando un polígono regular con argumentos $\frac{\alpha+2k\pi}{n}$ para $k=0,1,\dots,n-1$.

También se repasan las potencias cíclicas de la unidad imaginaria (el ciclo $i,-1,-i,1$ se repite cada cuatro potencias, por lo que $i^{2023}=i^3=-i$) y la propiedad algebraica fundamental de que los números complejos forman un cuerpo —admiten suma, producto y división— pero, a diferencia de los reales, no admiten una relación de orden total compatible con estas operaciones.

Con diez preguntas de cálculo directo y comprensión conceptual, este test constituye una base sólida sobre el álgebra de los números complejos, contenido que aparece de forma recurrente en la parte de Álgebra de la prueba de Selectividad/EBAU.

• Realizar operaciones básicas (suma, resta, producto) con números complejos en forma binómica
• Calcular el módulo y el argumento de un número complejo y expresarlo correctamente en forma polar
• Aplicar la fórmula de De Moivre para calcular potencias de números complejos
• Calcular las raíces n-ésimas de un número complejo y describir su distribución geométrica
• Calcular potencias cíclicas de la unidad imaginaria i y reconocer las propiedades algebraicas del cuerpo de los complejos

Dado el número complejo z=1-i, ¿cuál es su representación en forma polar? El módulo es |z|=√2. El argumento principal es arctan(-1/1)=-π/4. Por tanto, z=√2 con argumento -π/4. — ¿Cuál es el valor de i^2023? Dividimos 2023 entre 4: 2023=505·4+3. Por tanto, i^2023=i^3=-i.