Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas entre sí y constituyen una herramienta esencial de Matemáticas II de Bachillerato tanto por su análisis puramente matemático como por sus numerosas aplicaciones a fenómenos reales de crecimiento y decaimiento. Este cuestionario repasa las propiedades fundamentales de la función exponencial $f(x)=a^x$ (con $a>0$, $a\neq 1$): su dominio son todos los números reales, mientras que la función logarítmica $f(x)=\log_a(x)$ tiene como dominio únicamente los reales positivos $(0,+\infty)$, siendo precisamente la inversa de la exponencial.

Se practica la resolución de ecuaciones exponenciales mediante el cambio de variable $u=a^x$, que transforma la ecuación en una ecuación polinómica —como en $2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0$, que se reduce a $u^2-3u+2=0$—, y la resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades de la suma de logaritmos y verificando siempre que las soluciones obtenidas pertenezcan al dominio original de la ecuación (condición que descarta soluciones extrañas generadas al elevar a potencias).

Se repasan las propiedades algebraicas de los logaritmos: el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base, y se practica su aplicación combinada en expresiones como $\ln(a^b\cdot c)=b\ln(a)+\ln(c)$, distinguiendo estas identidades verdaderas de errores conceptuales habituales (como confundir el logaritmo de una suma con la suma de logaritmos).

El bloque de aplicaciones trabaja tres modelos clásicos: la desintegración radiactiva $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}$ (donde $\lambda$ es la constante de desintegración), el interés compuesto $C_f=C_0(1+r)^t$ (despejando el tiempo mediante logaritmos: $t=\frac{\ln(C_f/C_0)}{\ln(1+r)}$), y el crecimiento poblacional, todos ellos ejemplos de la relación inversa entre exponenciales y logaritmos aplicada a contextos reales.

Con diez preguntas que combinan cálculo algebraico y comprensión conceptual, este test prepara al alumnado para abordar con seguridad los problemas de funciones exponenciales y logarítmicas de la Selectividad/EBAU.

• Identificar el dominio y las propiedades básicas de las funciones exponencial y logarítmica
• Resolver ecuaciones exponenciales mediante cambio de variable
• Resolver ecuaciones logarítmicas aplicando propiedades y verificando el dominio de las soluciones
• Aplicar las propiedades algebraicas de los logaritmos para simplificar expresiones
• Aplicar los modelos exponenciales y logarítmicos a problemas de desintegración radiactiva e interés compuesto

Al resolver la ecuación exponencial 2^(2x)-3·2^x+2=0, sustituyendo u=2^x se obtiene u²-3u+2=0, que da u=1 (x=0) y u=2 (x=1). — En el modelo de interés compuesto Cf=C0(1+r)^t, si queremos despejar el tiempo t, tomamos logaritmo natural en ambos lados y dividimos por ln(1+r) para aislar t.