Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas entre sí y constituyen una herramienta esencial de Matemáticas II de Bachillerato tanto por su análisis puramente matemático como por sus numerosas aplicaciones a fenómenos reales de crecimiento y decaimiento. Este cuestionario repasa las propiedades fundamentales de la función exponencial $f(x)=a^x$ (con $a>0$, $a\mathrm{\ne }1$): su dominio son todos los números reales, mientras que la función logarítmica $f(x)={\log }_a(x)$ tiene como dominio únicamente los reales positivos $(0,+\mathrm{\infty })$, siendo precisamente la inversa de la exponencial.

Se practica la resolución de ecuaciones exponenciales mediante el cambio de variable $u=a^x$, que transforma la ecuación en una ecuación polinómica —como en $2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0$, que se reduce a $u^2-3u+2=0$—, y la resolución de ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades de la suma de logaritmos y verificando siempre que las soluciones obtenidas pertenezcan al dominio original de la ecuación (condición que descarta las soluciones extrañas que aparecen al aplicar las propiedades de los logaritmos).

Se repasan las propiedades algebraicas de los logaritmos: el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base, y se practica su aplicación combinada en expresiones como $\ln (a^b\cdot c)=b\ln (a)+\ln (c)$, distinguiendo estas identidades verdaderas de errores conceptuales habituales (como confundir el logaritmo de una suma con la suma de logaritmos).

El bloque de aplicaciones trabaja tres modelos clásicos: la desintegración radiactiva $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}$ (donde $\lambda$ es la constante de desintegración), el interés compuesto $C_f=C_0(1+r{)}^t$ (despejando el tiempo mediante logaritmos: $t=\frac{\ln (C_f\mathrm{/}{C}_0)}{\ln (1+r)}$), y el crecimiento poblacional, todos ellos ejemplos de la relación inversa entre exponenciales y logaritmos aplicada a contextos reales.

Con diez preguntas que combinan cálculo algebraico y comprensión conceptual, este test prepara al alumnado para abordar con seguridad los problemas de funciones exponenciales y logarítmicas de la PAU.

• Identificar el dominio y las propiedades básicas de las funciones exponencial y logarítmica
• Resolver ecuaciones exponenciales mediante cambio de variable
• Resolver ecuaciones logarítmicas aplicando propiedades y verificando el dominio de las soluciones
• Aplicar las propiedades algebraicas de los logaritmos para simplificar expresiones
• Aplicar los modelos exponenciales y logarítmicos a problemas de desintegración radiactiva e interés compuesto

Al resolver la ecuación exponencial 2^(2x)-3·2^x+2=0, sustituyendo u=2^x se obtiene u²-3u+2=0, que da u=1 (x=0) y u=2 (x=1). — En el modelo de interés compuesto Cf=C0(1+r)^t, si queremos despejar el tiempo t, tomamos logaritmo natural en ambos lados y dividimos por ln(1+r) para aislar t.