Sistemas de ecuaciones lineales: discusión y resolución

La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales es uno de los bloques con mayor presencia en la prueba de Selectividad/EBAU de Matemáticas II, especialmente en su versión con parámetro, donde se exige clasificar el sistema según los valores de una constante literal. Este cuestionario repasa el teorema de Rouché-Frobenius, que establece la clasificación de un sistema $AX=B$ comparando el rango de la matriz de coeficientes A con el rango de la matriz ampliada $(A|B)$: si ambos rangos coinciden y son iguales al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado (solución única); si coinciden pero son menores que el número de incógnitas, es compatible indeterminado (infinitas soluciones); y si los rangos difieren, el sistema es incompatible (sin solución).

Se trabaja en profundidad el método de Gauss, mediante el cual se transforma el sistema en una forma escalonada usando operaciones elementales de fila (intercambio de filas, multiplicación por un escalar no nulo y suma de un múltiplo de una fila a otra). Se presta especial atención a la interpretación de una fila del tipo $(0,0,0\,|\,k)$ con $k\neq 0$ tras la reducción, que representa una contradicción matemática (0=k) e indica que el sistema es incompatible.

También se aborda la regla de Cramer como método alternativo de resolución para sistemas cuadrados con determinante no nulo, calculando cada incógnita como el cociente de dos determinantes. Se practica la discusión de sistemas con un parámetro a, identificando los valores críticos donde el determinante de la matriz de coeficientes se anula y analizando los rangos en esos puntos concretos para completar la clasificación.

Finalmente, se estudia el caso particular de los sistemas homogéneos ($AX=0$), que siempre admiten al menos la solución trivial (todas las incógnitas iguales a cero), siendo compatibles indeterminados únicamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Con diez preguntas de comprensión conceptual y aplicación práctica, este test prepara al alumnado para abordar con seguridad los problemas de sistemas de ecuaciones que constituyen una parte central del bloque de Álgebra Lineal en el examen de acceso a la universidad.

• Aplicar el teorema de Rouché-Frobenius para clasificar un sistema de ecuaciones lineales según sus rangos
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss identificando filas contradictorias
• Aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas cuadrados con determinante no nulo
• Discutir sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro, identificando los valores críticos del determinante
• Reconocer que todo sistema homogéneo admite al menos la solución trivial y determinar cuándo tiene infinitas soluciones

Al aplicar el método de Gauss para resolver un sistema, llegas a una fila de la forma (0,0,0|k) donde k≠0. ¿Qué conclusión se obtiene? Una fila de esa forma implica una contradicción (0=k), por lo que el sistema es incompatible. — Un sistema homogéneo AX=0 siempre tiene al menos una solución: todo sistema homogéneo admite al menos la solución trivial donde todas las variables son cero.