Vectores en el espacio

El álgebra vectorial en tres dimensiones constituye la base de la Geometría Analítica del espacio, bloque que en Matemáticas II de Bachillerato conduce al estudio de rectas, planos, distancias y ángulos de cara a la Selectividad/EBAU. Este cuestionario repasa las operaciones fundamentales con vectores en $\mathbb{R}^3$: el producto escalar, definido como $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, que permite calcular tanto el ángulo entre dos vectores como determinar su perpendicularidad (producto escalar nulo).

Se trabaja el producto vectorial $\vec{u}\times\vec{v}$, cuya interpretación geométrica es doble: el vector resultante es perpendicular a ambos vectores originales, y su módulo coincide con el área del paralelogramo que estos determinan —propiedad clave para calcular áreas de triángulos y paralelogramos en el espacio—. Se practica también con los vectores unitarios canónicos $\vec{i}=(1,0,0)$ y $\vec{j}=(0,1,0)$, cuyo producto vectorial da como resultado $\vec{k}=(0,0,1)$, relación fundamental de la base canónica.

El producto mixto $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ recibe especial atención por su doble utilidad: su valor absoluto proporciona el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores, mientras que un resultado igual a cero indica que los tres vectores son coplanarios (linealmente dependientes), criterio muy usado en problemas de posición relativa en el espacio.

Se completa el repaso con el cálculo del módulo de un vector mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes (siempre no negativo por definición), la condición de paralelismo entre vectores (componentes proporcionales) y las propiedades algebraicas del producto escalar: conmutatividad, distributividad respecto de la suma y su carácter definido positivo, remarcando que el producto escalar no es asociativo al ser su resultado un número real y no un vector.

Con diez preguntas que combinan cálculo numérico directo y comprensión de las interpretaciones geométricas, este test constituye la base indispensable antes de abordar ecuaciones de rectas y planos en el espacio, bloque central de la Geometría en la prueba de acceso a la universidad.

• Calcular el producto escalar de dos vectores y utilizarlo para hallar el ángulo entre ellos
• Calcular el producto vectorial de dos vectores e interpretarlo como el área de un paralelogramo
• Calcular el producto mixto de tres vectores e interpretarlo como el volumen de un paralelepípedo o como criterio de coplanariedad
• Determinar si dos vectores son paralelos o perpendiculares a partir de sus componentes
• Calcular el módulo de un vector en el espacio y aplicar las propiedades algebraicas del producto escalar

El producto vectorial u×v tiene una interpretación geométrica fundamental: el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman. — Si el producto mixto de tres vectores es 12, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo que forman? El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto.