ЕГЭ по математике: Числа и их свойства — делимость и прогрессии

Числа и их свойства — материал задания 19 профильного ЕГЭ по математике, последнего и самого «олимпиадного» задания варианта (четыре первичных балла). Одновременно прогрессии остаются классикой первой части и текстовых задач. Специфика темы в том, что она почти не требует формул — только владения делимостью, остатками, чётностью и двумя семействами прогрессий. Этот тренажёр систематизирует именно этот аппарат.

Десять оригинальных заданий: арифметическая прогрессия с восстановлением разности по двум членам и подсчётом суммы (с дистракторами на сдвиг индекса и забытое деление на два); геометрическая прогрессия с положительными членами — восстановление знаменателя и первого члена; рекуррентная последовательность и её классификация; сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии; системы сравнений — подсчёт чисел с заданными остатками при делении на 7 и 5, восстановление остатка по модулю 36 из остатков по модулям 9 и 4 (метод перебора и китайская теорема об остатках в школьной форме); НОД через разложение на простые множители; количество трёхзначных чисел, кратных НОК(15, 20); свойства делимости с контрпримерами; чётность сумм и произведений с алгебраическим обоснованием.

Дистракторы отрабатывают фирменные ошибки блока: a₁ + 10d вместо a₁ + 9d, перепутанные формулы сумм двух прогрессий, потерянное третье решение системы сравнений, ложное «если a делится на b и на c, то делится на bc».

Флеш-карточки собирают опорный минимум: формулы n-го члена и сумм обеих прогрессий, сумма бесконечной прогрессии, признаки делимости на 3 и 9, связь НОД и НОК, правила чётности.

Тренажёр адресован выпускникам, замахивающимся на высокие баллы профильного ЕГЭ-2026: без свободного владения этим материалом задание 19 недоступно. Полезен и десятиклассникам математических классов как вводный курс в теорию чисел экзаменационного формата.

• Применять формулы n-го члена и суммы арифметической и геометрической прогрессий без сдвига индекса
• Решать задачи на остатки и системы сравнения методом перебора и по периодичности
• Находить НОД и НОК через разложение на простые множители и считать кратные в диапазоне
• Проверять свойства делимости и строить контрпримеры к ложным утверждениям
• Обосновывать чётность сумм и произведений алгебраически

Оригинальные задания по блоку «Числа и вычисления» кодификатора ФИПИ профильного ЕГЭ-2026 (делимость, остатки, прогрессии — материал задания 19). Задания ФИПИ не воспроизводятся.