Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe
Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe to jeden z najtrudniejszych, ale i najczęstszych tematów stereometrii na maturze rozszerzonej — łączy wzory na pole i objętość z rachunkiem trygonometrycznym w trójkątach powstałych wewnątrz bryły. Ta lekcja porządkuje pełen zestaw umiejętności potrzebnych do rozwiązywania takich zadań krok po kroku.
Materiał pokazuje, jak wyznaczyć wysokość ostrosłupa na podstawie kąta nachylenia krawędzi bocznej lub ściany bocznej do płaszczyzny podstawy — kluczowa jest tu identyfikacja właściwego trójkąta prostokątnego wewnątrz bryły oraz poprawne dobranie funkcji trygonometrycznej (sinus, cosinus czy tangens) do danego kąta. Osobna grupa zadań dotyczy graniastosłupów prawidłowych: kąta między przekątną bryły a płaszczyzną podstawy, oraz kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy — oba wymagają rozpoznania trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość bryły i odpowiedni odcinek podstawy.
Zestaw 11 pytań testowych obejmuje graniastosłupy trójkątne, czworokątne i sześciokątne oraz ostrosłupy trójkątne i czworokątne — od rozpoznawania poprawnych wzorów na pole i objętość, przez zadania na kąty nachylenia, po zadania rachunkowe z konkretnymi wartościami. Każda odpowiedź ma szczegółowe wyjaśnienie z rysunkiem "słownym" trójkąta pomocniczego, a fiszki zbierają wszystkie potrzebne wzory (w tym promienie okręgów w trójkącie równobocznym) w jednym miejscu.
Lekcja jest przeznaczona dla uczniów przygotowujących się do matury rozszerzonej z matematyki, dla których stereometria z kątami nachylenia jest jednym z najbardziej punktowanych, a zarazem najtrudniejszych zadań otwartych.
- Wyznaczasz wysokość ostrosłupa na podstawie kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy
- Wyznaczasz wysokość ostrosłupa na podstawie kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy
- Obliczasz kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy
- Obliczasz kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy
- Stosujesz poprawne wzory na objętość i pole powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych
- Rozpoznajesz właściwy trójkąt prostokątny wewnątrz bryły do zastosowania funkcji trygonometrycznych
Materiał obejmuje rozszerzony zakres matury z matematyki: graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe, obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości, kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy oraz kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a płaszczyzną podstawy.
Przykładowe pytanie
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a$, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
- $\frac{1}{3}a^3 \tan(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\frac{1}{3}a^3 \sin(\alpha)$
- $\frac{1}{6}a^3 \cos(\alpha)$
- $\frac{1}{3}a^2 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}}$
Zobacz odpowiedź
$\frac{1}{3}a^3 \tan(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
Wysokość $H$ ostrosłupa tworzy z połową przekątnej podstawy ($d/2 = a\sqrt{2}/2$) trójkąt prostokątny. Zatem $H = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$. Objętość $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha) = \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \tan(\alpha)$.
Spróbuj tego quizu →Podejdź do tego egzaminu →Powtórz te fiszki →