Lo studio di funzione
Lo studio di funzione è l'argomento di sintesi del triennio scientifico: mette insieme domini, limiti, derivate e simmetrie per costruire il grafico probabile di una funzione, ed è quasi sempre presente nella seconda prova della Maturità scientifica. Questo quiz di ripasso segue lo schema completo dello studio, applicato a funzioni razionali fratte, esponenziali, logaritmiche e polinomiali.
Il percorso comincia dal dominio (per una funzione razionale fratta si escludono i valori che annullano il denominatore) e dalle simmetrie: una funzione è pari se $f(-x)=f(x)$ (grafico simmetrico rispetto all'asse y), dispari se $f(-x)=-f(x)$, ed eventualmente periodica, come la tangente con periodo $\pi$.
Segue lo studio degli asintoti tramite i limiti agli estremi del dominio: l'asintoto orizzontale si trova calcolando $\lim_{x\to\infty}f(x)$, l'asintoto obliquo richiede il calcolo di $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ e $q=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$, mentre l'asintoto verticale emerge dove la funzione diverge, come nel caso classico di $\ln(x)$ per $x\to0^+$.
La parte centrale del quiz applica la derivata prima per individuare punti stazionari, massimi e minimi relativi (studiando dove $f'(x)=0$ e il segno della derivata attorno a quel punto) e la derivata seconda per determinare gli intervalli di concavità (verso l'alto dove $f''(x)>0$). Il quiz include anche un problema "inverso": trovare i parametri di una parabola $ax^2+bx+c$ note una condizione di passaggio per un punto e una condizione sul minimo, traducendo il testo in un sistema di equazioni con la derivata.
Ogni domanda è autonoma e contiene già la funzione e i dati numerici necessari, permettendo un ripasso mirato su una singola fase dello studio di funzione.
- Determinare il dominio di funzioni razionali fratte, irrazionali, esponenziali e logaritmiche
- Riconoscere simmetrie (funzione pari, dispari) e periodicità
- Calcolare asintoti orizzontali, verticali e obliqui tramite i limiti
- Individuare punti stazionari, massimi e minimi relativi con la derivata prima
- Determinare gli intervalli di concavità con la derivata seconda
- Ricavare i parametri di una funzione da condizioni di passaggio e di estremo relativo
Quiz di ripasso sullo studio di funzione per il triennio del liceo scientifico: dominio, simmetrie, asintoti (orizzontali, verticali, obliqui), studio della derivata prima e seconda per massimi/minimi e concavità, e problemi inversi sui parametri.
Esempio di domanda
Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$, quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente il suo dominio?
- $D = \mathbb{R}$
- $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
- $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$
- $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$
Vedi la risposta
$D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$
Il dominio di una funzione razionale fratta si ottiene escludendo i valori che annullano il denominatore. Risolvendo $x^2 - 1 = 0$, otteniamo $x = \pm 1$.
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