Normalverteilung: Grundlagen und Sigma-Regeln

Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung im Abitur — sie beschreibt viele natürliche und gemessene Größen und dient als Näherung für die Binomialverteilung bei großem Stichprobenumfang. Dieses Quiz übt die Dichtefunktion, die Standardisierung und die bekannten Sigma-Regeln.

Die zehn Fragen behandeln die Eigenschaften der Dichtefunktion $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}$ (symmetrisch um den Erwartungswert, dort mit Maximum), die Standardnormalverteilung mit $\mu =0$ und $\sigma =1$, sowie die Transformation einer beliebigen normalverteilten Zufallsvariablen in die Standardnormalverteilung über $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$. Die 68-95-99,7-Regel (Sigma-Regeln) wird systematisch geübt: welcher Anteil der Werte liegt innerhalb von ein, zwei bzw. drei Standardabweichungen um den Erwartungswert.

Eine konkrete Rechenaufgabe mit $\mu =100$ und $\sigma =10$ verlangt die Bestimmung des Intervalls, das 95% der Wahrscheinlichkeitsmasse abdeckt — direkt anwendbares Wissen für Klausuraufgaben zu Prognoseintervallen. Auch die kumulative Verteilungsfunktion $\mathrm{\Phi }(z)$ der Standardnormalverteilung wird behandelt, insbesondere ihre Symmetrieeigenschaft $\mathrm{\Phi }(-z)=1-\mathrm{\Phi }(z)$ und der Wert $\mathrm{\Phi }(0)=\mathrm{0,5}$. Der Wendepunkt der Dichtefunktion — genau eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt — rundet das geometrische Verständnis der Glockenkurve ab.

Dieses Set baut auf Binomialverteilung und Erwartungswert/Varianz auf und führt zu Hypothesentests, bei denen die Normalapproximation eine zentrale Rolle spielt — der Abschluss des Stochastik-Blocks im Rahmen des IQB-Aufgabenpools für die Abiturprüfung Mathematik.

• Die Dichtefunktion der Normalverteilung und ihre Eigenschaften beschreiben
• Eine normalverteilte Zufallsvariable in die Standardnormalverteilung transformieren
• Die 68-95-99,7-Regel (Sigma-Regeln) auf konkrete Intervalle anwenden
• Wahrscheinlichkeiten mit der kumulativen Verteilungsfunktion $\Phi(z)$ berechnen
• Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung zur Vereinfachung von Berechnungen nutzen

Beispielaufgabe: „Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit $\mu=100$ und $\sigma=10$. Welches Intervall entspricht nach den Sigma-Regeln näherungsweise dem 95%-Intervall um den Erwartungswert?“ — Lösung: näherungsweise $\mu\pm2\sigma$, also $[80; 120]$.