Integrales indefinidas: técnicas de cálculo

Este cuestionario cubre las principales técnicas de cálculo de integrales indefinidas exigidas en el temario de Matemáticas II de 2º de Bachillerato, un bloque imprescindible antes de abordar el cálculo de áreas mediante integrales definidas en la PAU.

Se trabaja la integración inmediata de formas tipo $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$, que conduce a la función arcotangente, así como la técnica de integración por partes ($\int udv=uv-\int vdu$), presentando el criterio práctico para elegir qué función actúa como u y cuál como dv —por ejemplo, en $\int x\ln (x)dx$, donde conviene tomar $u=\ln (x)$ para simplificar tras derivar—. Se refuerza el reconocimiento de los casos clásicos que requieren esta técnica, como productos de un polinomio por una exponencial o por una función trigonométrica.

El bloque de cambio de variable se ilustra con integrales como $\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx$, donde la sustitución $t=e^x$ transforma la integral en una forma racional inmediata, y con $\int x\sqrt{x+1}dx$ mediante $t^2=x+1$, un ejercicio típico que exige despejar x y dx en términos de t antes de integrar.

También se aborda la integración de funciones racionales mediante descomposición en fracciones simples, incluyendo el paso obligatorio de realizar la división polinómica cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, así como casos como $\int \frac{1}{x^2-1}dx$, resoluble por fracciones simples con raíces reales simples.

Finalmente, se practican integrales trigonométricas como $\int \tan (x)dx$ (resultado logarítmico) y $\int {\cos }^2(x)dx$ mediante la identidad del ángulo doble, técnicas que combinan manipulación algebraica con el uso de identidades trigonométricas fundamentales. En conjunto, estas diez preguntas ofrecen un repaso completo de las herramientas de integración indefinida que constituyen la base del cálculo de áreas y volúmenes en el bloque de Análisis.

• Reconocer y aplicar la fórmula de integración inmediata que conduce a la función arcotangente
• Elegir correctamente las partes u y dv para aplicar la técnica de integración por partes
• Resolver integrales mediante cambio de variable identificando la sustitución más eficiente
• Aplicar la división polinómica y la descomposición en fracciones simples a integrales de funciones racionales
• Calcular integrales trigonométricas básicas usando identidades como el ángulo doble

Al aplicar la técnica de integración por partes ∫u dv = uv - ∫v du, ¿cuál de las siguientes elecciones para u y dv es la más adecuada para resolver ∫x ln(x) dx? Eligiendo u=ln(x), du=1/x dx, lo cual simplifica la integral. — ¿Cuál es la primitiva de ∫cos²(x) dx utilizando identidades trigonométricas? Usando la identidad cos²(x) = (1+cos(2x))/2, la integral resulta x/2 + sen(2x)/4 + C.