Límites y continuidad de funciones

Este cuestionario de Matemáticas II de 2º de Bachillerato repasa los conceptos fundamentales del bloque de Análisis relacionado con límites y continuidad, un pilar esencial de cara a la prueba de acceso a la universidad (PAU, la Selectividad). Se abordan la definición formal de límite de una función en un punto, el cálculo de límites laterales y su relación con la existencia del límite global, así como las técnicas habituales para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞ mediante factorización y simplificación algebraica, o mediante la regla de comparación de grados en funciones racionales al infinito.

El bloque de continuidad se trabaja tanto en un punto como en un intervalo cerrado, exigiendo comprender las tres condiciones que debe cumplir una función para ser continua en a: que exista el límite, que la función esté definida en ese punto, y que ambos valores coincidan. También se practica la continuidad lateral en los extremos de un intervalo cerrado [a,b], un matiz que suele generar confusión entre el alumnado.

Un bloque especialmente relevante es la clasificación de discontinuidades: evitables (cuando el límite existe pero no coincide con el valor de la función, o esta no está definida), de salto finito (límites laterales distintos pero finitos, como ocurre con la función parte entera) y de salto infinito o asintóticas (cuando al menos un límite lateral tiende a infinito, revelando la presencia de una asíntota vertical). Se incluye también el límite notable sen(x)/x cuando x tiende a 0, herramienta indispensable para resolver límites trigonométricos indeterminados sin recurrir a la regla de L'Hôpital.

Las diez preguntas combinan ejercicios de cálculo directo —como el estudio de $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ en x=2— con preguntas conceptuales de selección múltiple sobre las propiedades algebraicas de los límites (suma, producto y cociente) y sobre las condiciones de continuidad en intervalos. El nivel de dificultad está calibrado para 2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología, con el rigor formal que exige la PAU en la asignatura de Matemáticas II.

Al completar este test, el estudiante habrá repasado tanto la mecánica de cálculo como la comprensión conceptual necesaria para abordar con seguridad los primeros bloques de un examen de Análisis Matemático de Bachillerato.

• Calcular límites de funciones racionales resolviendo indeterminaciones 0/0 mediante factorización
• Determinar límites laterales y decidir si el límite global de una función existe en un punto
• Aplicar la regla de comparación de grados para calcular límites de funciones racionales cuando x tiende a infinito
• Clasificar correctamente los tipos de discontinuidad de una función: evitable, de salto finito y de salto infinito
• Verificar las condiciones de continuidad de una función en un punto y en un intervalo cerrado [a,b]

Sea $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. ¿Cuál es el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 2? Al evaluar el límite, obtenemos una indeterminación del tipo 0/0. Simplificando la expresión, $f(x) = x + 2$ para $x \neq 2$. Por tanto, el límite es $2 + 2 = 4$. — Dada $f(x) = \frac{1}{x-3}$, ¿qué tipo de discontinuidad presenta en $x=3$? Como el límite tiende a ±∞, se trata de una discontinuidad asintótica o de salto infinito.