Mathématiques : exponentielle, logarithme et équations différentielles (PCM STL)

Ce matériel couvre trois sous-parties du chapitre « Analyse » du programme de mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STL : la fonction exponentielle de base e, la fonction logarithme népérien et les équations différentielles. Ce sont les outils mathématiques de la désintégration radioactive, de la cinétique d'ordre 1 et de la chute avec frottement étudiées en physique-chimie.

Pour l'exponentielle, les questions font transformer des expressions à l'aide des propriétés algébriques, dériver x ↦ e^(kx), étudier les variations d'une fonction produit d'un polynôme et d'une exponentielle, et déterminer des limites, y compris par croissance comparée : e^x / x^n tend vers +∞ et x^n e^(−x) tend vers 0 en +∞.

Le logarithme népérien est défini comme l'unique solution de l'équation e^x = a pour a > 0. Le matériel en exploite les propriétés algébriques (produit, quotient, puissance, racine carrée), la dérivée, les limites en 0 et en +∞, l'étude de fonctions comme x ↦ x − ln x, et le lien avec le logarithme décimal utilisé pour le pH. Il fait résoudre des équations et des inéquations des types e^(ax) = b, e^(ax) > b, ln x = b et ln x > b.

Pour les équations différentielles, l'élève vérifie qu'une fonction donnée est solution, détermine l'ensemble des solutions de y' = ay et de y' = ay + b, puis la solution qui vérifie une condition initiale. Des applications directes à la physique-chimie complètent l'ensemble : temps de demi-vie obtenu à partir de N(t) = N0 e^(−λt), vitesse limite comme limite en +∞ de la solution d'une équation de chute, durée nécessaire pour atteindre 90 % de cette vitesse.

Toutes les fonctions et valeurs sont écrites dans les énoncés, et les résultats ont été recalculés. Les cartes mémoire rassemblent les formules clés, et le travail écrit propose huit exercices rédigés, de l'étude complète d'une fonction à la décroissance du cobalt 60.

• Transformer des expressions avec les propriétés de l'exponentielle et du logarithme
• Dériver et étudier des fonctions exponentielles et logarithmes
• Déterminer des limites, dont les croissances comparées
• Résoudre des équations et inéquations avec exp et ln
• Résoudre y' = ay et y' = ay + b avec une condition initiale
• Appliquer ces outils à la radioactivité et à la chute avec frottement

Programme de terminale STL, mathématiques, chapitre « Analyse » : fonction exponentielle (nombre e, dérivée de e^(kx), limites, croissance comparée), fonction logarithme népérien (définition, propriétés algébriques, lien avec le logarithme décimal, limites, équations et inéquations) et équations différentielles (notion de solution, y' = ay, y' = ay + b, condition initiale), avec leurs liens avec la physique-chimie.