Mathématiques : intégration et composition de fonctions (PCM STL)

Ce matériel porte sur la partie mathématique de l'enseignement de spécialité physique-chimie et mathématiques de terminale STL, plus précisément sur deux sous-parties du chapitre « Analyse » : l'intégration et la composition de fonctions. Le programme les présente comme des outils immédiatement utiles en physique, en chimie et en biotechnologies.

L'intégrale d'une fonction positive est d'abord définie comme une aire sous la courbe ; pour une fonction constante ou affine, elle se calcule avec l'aire d'un rectangle ou d'un trapèze. Le matériel fait ensuite approcher une intégrale par la méthode des rectangles, à gauche ou à droite, et interpréter le sens de l'écart selon que la fonction est croissante ou décroissante. La définition est étendue aux fonctions négatives, aux fonctions qui changent de signe et au cas où la borne inférieure dépasse la borne supérieure. Les propriétés du programme (linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles) sont testées à travers des propositions à valider.

La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, l'intégrale fonction de sa borne supérieure, dont la dérivée est la fonction intégrée, et le calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive, F(b) − F(a), occupent le centre du matériel. Des contextes empruntés à la physique-chimie donnent du sens aux calculs : énergie comme intégrale d'une puissance, puissance moyenne. L'aire entre deux courbes est calculée après recherche des points d'intersection. La méthode de Monte-Carlo, citée dans les situations algorithmiques du programme, est présentée dans son principe.

La composition de fonctions fait identifier la composée v∘u dans une expression, calculer les dérivées des composées usuelles (puissance, cosinus, sinus, exponentielle et logarithme d'une fonction) et reconnaître les formes u'u^n, u'/u, u'e^u pour trouver une primitive, ainsi que les primitives de fonctions du type f(ax + b).

Toutes les fonctions et valeurs sont données dans les énoncés, et les résultats ont été recalculés. Le travail écrit comporte huit exercices, du calcul d'une intégrale par deux méthodes à l'étude de la fonction x ↦ ∫ e^(−t) dt.

Calculer une intégrale par une aire ou par une primitive
Approcher une intégrale par la méthode des rectangles
Utiliser les propriétés de l'intégrale
Calculer une valeur moyenne et une aire entre deux courbes
Dériver une fonction composée
Déterminer une primitive des formes u'u^n, u'/u, u'e^u, f(ax + b)

Programme de terminale STL, mathématiques, chapitre « Analyse » : intégration (aire sous la courbe, méthode des rectangles, fonctions négatives, propriétés, valeur moyenne, intégrale fonction de sa borne supérieure, F(b) − F(a), Monte-Carlo) et composition de fonctions (v∘u, dérivée d'une composée, primitives de u'f(u)).

Exemple de question

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$, et $k$ un réel. Lesquelles de ces propriétés de l'intégrale sont toujours vraies ?

$\int_a^b f(t)\,dt = -\int_b^a f(t)\,dt$
$\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^c f(t)\,dt - \int_c^b f(t)\,dt$
$\int_a^b (f(t) + g(t))\,dt = \int_a^b f(t)\,dt + \int_a^b g(t)\,dt$
$\int_a^b k f(t)\,dt = k + \int_a^b f(t)\,dt$

Voir la réponse

$\int_a^b f(t)\,dt = -\int_b^a f(t)\,dt$, $\int_a^b (f(t) + g(t))\,dt = \int_a^b f(t)\,dt + \int_a^b g(t)\,dt$

Échanger les bornes change le signe, et l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales (linéarité). La relation de Chasles s'écrit avec une addition, et une constante multiplicative sort de l'intégrale en facteur, elle ne s'ajoute pas.

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