Distribuzioni di probabilità

Le distribuzioni di probabilità sono la parte del programma del quinto anno che collega il calcolo delle probabilità alla statistica e ai modelli del mondo reale: il numero di risposte corrette date a caso in un test, le chiamate che arrivano a un centralino, le altezze di un gruppo di persone. Questo materiale ti aiuta a ripassarle con problemi numerici completi, scritti per intero nel testo di ogni domanda.

Si parte dalla variabile aleatoria discreta: la sua distribuzione, la condizione che la somma delle probabilità sia $1$, il valore atteso e la varianza calcolati da una tabella. Si passa poi ai modelli principali. La distribuzione binomiale descrive il numero di successi in $n$ prove indipendenti con probabilità di successo costante: impari a verificarne le condizioni, a usare la formula $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ e a ricordare media $np$ e varianza $np(1-p)$. La distribuzione di Poisson conta eventi rari in un intervallo, con media e varianza uguali a $\lambda$. La distribuzione normale, con la sua curva a campana simmetrica, si studia attraverso la standardizzazione $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ e la regola $68$–$95$–$99{,}7$.

La seconda parte riguarda la probabilità condizionata e i suoi strumenti: la regola del prodotto, la formula delle probabilità totali e il teorema di Bayes, applicato a un test diagnostico in cui la probabilità di essere malati dopo un esito positivo risulta molto più bassa di quanto ci si aspetterebbe. Completa il quadro la distinzione tra eventi indipendenti ed eventi incompatibili, che spesso vengono confusi.

Il materiale offre un quiz con dati numerici nel testo e una spiegazione del calcolo per ogni risposta; un mazzo di flashcard con formule e definizioni; una prova scritta da stampare con otto problemi da svolgere a mano, dal gioco equo con il dado alle macchine di una fabbrica, fino alle estrazioni da un'urna con e senza reimmissione; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede una definizione o un ragionamento alla volta.

Il livello è quello del quinto anno del liceo scientifico. I problemi sono originali e pensati per l'allenamento, e completano il materiale di base su probabilità e statistica della stessa categoria senza ripeterne le domande.

• Descrivere una variabile aleatoria discreta e calcolarne valore atteso e varianza
• Riconoscere e usare la distribuzione binomiale, con media e varianza
• Usare la distribuzione di Poisson per eventi rari in un intervallo
• Standardizzare una variabile normale e applicare la regola 68–95–99,7
• Calcolare probabilità condizionate e usare la formula delle probabilità totali
• Applicare il teorema di Bayes e distinguere eventi indipendenti e incompatibili

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.