Successioni e progressioni

Le successioni sono funzioni definite sui numeri naturali: elenchi ordinati di numeri $a_1,a_2,a_3,\dots$ costruiti con una regola. Sono il primo incontro con il concetto di limite e servono a descrivere fenomeni che procedono per passi, come un capitale che cresce anno dopo anno. Al liceo scientifico le progressioni e il principio di induzione compaiono spesso nei quesiti della seconda prova. Questo materiale ti aiuta a ripassarli con esercizi numerici completi.

Si parte dalla definizione di successione, dal termine generale e dalle successioni definite per ricorrenza, in cui ogni termine si ottiene dal precedente: impari a calcolarne i primi termini e a confrontarli con una formula esplicita. Seguono le proprietà: successioni crescenti, decrescenti e limitate. La parte centrale riguarda le progressioni aritmetiche, con la ragione, il termine $n$-esimo $a_n=a_1+(n-1)d$ e la somma dei primi $n$ termini (la classica somma $1 + 2 + \dots + 100$), e le progressioni geometriche, con il termine $a_n=a_1{q}^{n-1}$ e la somma dei primi $n$ termini.

Dalla somma geometrica si arriva alla serie geometrica: quando $|q| < 1$ la somma infinita converge a $\frac{a_1}{1-q}$, e questo permette per esempio di trovare la frazione generatrice di un numero periodico. Si ripassano anche alcuni limiti di successioni, tra cui quello che definisce il numero di Nepero $e$. Il principio di induzione chiude il percorso: la base, il passo induttivo e due dimostrazioni classiche. Un problema di interesse composto in euro mostra un'applicazione concreta delle progressioni geometriche.

Il materiale offre un quiz con i numeri scritti nel testo di ogni domanda e una spiegazione per ogni risposta; un mazzo di flashcard con definizioni e formule; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui due dimostrazioni per induzione e il calcolo di un capitale; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede una formula o un ragionamento alla volta.

Il livello è quello del liceo scientifico. Gli esercizi sono originali e pensati per l'allenamento: i distrattori del quiz riproducono gli errori più frequenti, come usare $n$ al posto di $n-1$ nella formula del termine generale o contare un termine in meno in una somma.

• Calcolare i termini di una successione data per ricorrenza o con il termine generale
• Riconoscere successioni crescenti, decrescenti e limitate
• Usare termine $n$-esimo e somma delle progressioni aritmetiche
• Usare termine $n$-esimo e somma delle progressioni geometriche
• Calcolare la somma di una serie geometrica convergente e alcuni limiti di successioni
• Dimostrare semplici proprietà con il principio di induzione

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.