Le equazioni differenziali

Le equazioni differenziali chiudono il programma di analisi del quinto anno del liceo scientifico e collegano la matematica ai modelli della fisica e delle scienze: la crescita di una popolazione, il decadimento radioattivo, il raffreddamento di un corpo, l'oscillazione di una molla. In un'equazione differenziale l'incognita non è un numero ma una funzione, legata alle proprie derivate. Questo materiale ti aiuta a ripassare i tipi di equazione e i metodi risolutivi che si incontrano più spesso negli esercizi.

Si comincia dalle definizioni: che cos'è un'equazione differenziale, come se ne riconosce l'ordine, come si verifica per sostituzione che una funzione data ne è soluzione, la differenza tra integrale generale e integrale particolare e il problema di Cauchy, in cui una condizione iniziale individua una sola soluzione. Si passa poi ai metodi del primo ordine: le equazioni del tipo $y^{\mathrm{\prime }}=f(x)$, risolte per integrazione diretta; le equazioni a variabili separabili, come $y^{\mathrm{\prime }}=xy$ o $y^{\mathrm{\prime }}=y^2$; le equazioni lineari $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)$, con la formula risolutiva basata sul fattore $e^{\int a(x)dx}$.

Una parte importante è dedicata ai modelli: crescita e decadimento esponenziale con $y^{\mathrm{\prime }}=ky$, il significato della costante $k$, il tempo di dimezzamento $\frac{\ln 2}{k}$, la legge di raffreddamento di Newton. Infine le equazioni del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti: l'equazione caratteristica e i tre casi (radici reali distinte, coincidenti, complesse), con l'esempio del moto armonico.

Il materiale offre un quiz con le equazioni scritte per intero nel testo di ogni domanda e una spiegazione del procedimento; un mazzo di flashcard con definizioni, metodi e formule risolutive; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui problemi su una colonia di batteri, il decadimento di una sostanza, il raffreddamento di una tazza di tè e l'oscillazione di una molla; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede un metodo alla volta e ti fa giustificare i passaggi.

Il livello è quello del quinto anno del liceo scientifico. Gli esercizi sono originali e pensati per l'allenamento, con risultati verificabili per sostituzione: abituarti a controllare la soluzione trovata è il modo più sicuro per non perdere punti in un esercizio sulle equazioni differenziali.

• Riconoscere l'ordine di un'equazione differenziale e verificare una soluzione per sostituzione
• Distinguere integrale generale, integrale particolare e problema di Cauchy
• Risolvere equazioni a variabili separabili e lineari del primo ordine
• Usare i modelli di crescita, decadimento e raffreddamento, compreso il tempo di dimezzamento
• Risolvere equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti nei tre casi
• Interpretare il moto armonico come soluzione di $x'' + \omega^2x = 0$

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.