I teoremi del calcolo differenziale

I teoremi del calcolo differenziale sono il ponte tra la derivata, che descrive il comportamento di una funzione punto per punto, e le proprietà globali della funzione su un intervallo. Alla maturità scientifica compaiono sia come domande teoriche sia come strumenti negli esercizi: per giustificare un'uguaglianza, calcolare un limite difficile o risolvere un problema di massimo e minimo. Questo materiale li ripassa uno per uno, con le ipotesi, il significato e un'applicazione concreta.

Si parte dal teorema di Rolle, applicato a una funzione data per trovare il punto in cui la tangente è orizzontale, e da un caso in cui non si può applicare perché manca la derivabilità, come per $|x|$ su $[-1;1]$. Segue il teorema di Lagrange, con il calcolo del punto $c$ e la sua interpretazione geometrica (tangente parallela alla corda), e i corollari che ne derivano: una funzione con derivata nulla su un intervallo è costante, e il segno della derivata decide la monotonia. Il teorema di Cauchy completa la famiglia dei teoremi del valor medio.

Il teorema di De l'Hôpital è lo strumento per le forme indeterminate $\frac{0}{0}$ e $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$: il materiale propone limiti da calcolare, anche applicando il teorema più volte, e un caso in cui il rapporto delle derivate non ha limite e il teorema non dice nulla, anche se il limite di partenza esiste. Infine il teorema di Fermat, la differenza tra condizione necessaria e sufficiente (l'esempio di $x^3$), il teorema di Weierstrass e la ricerca dei massimi e minimi assoluti su un intervallo chiuso, fino ai problemi di ottimizzazione.

Il materiale offre un quiz con funzioni e intervalli scritti nel testo di ogni domanda e una spiegazione per ogni risposta; un mazzo di flashcard con gli enunciati e le ipotesi dei teoremi; una prova scritta da stampare con otto esercizi da svolgere a mano, tra cui una dimostrazione, il calcolo di limiti e un problema di ottimizzazione; e un'interrogazione orale in cui l'esaminatore ti chiede enunciati, controesempi e applicazioni, una domanda alla volta.

Il livello è quello del quinto anno del liceo scientifico. Le domande sono originali e allenano soprattutto l'attenzione alle ipotesi, che è il punto in cui si perdono più punti: un teorema applicato senza verificarne le condizioni porta facilmente a una conclusione sbagliata.

• Enunciare i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e verificarne le ipotesi
• Determinare il punto $c$ previsto da Rolle e da Lagrange per una funzione data
• Usare i corollari di Lagrange su funzioni costanti e monotonia
• Calcolare limiti nelle forme $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ con De l'Hôpital e riconoscerne i limiti di applicabilità
• Distinguere condizione necessaria e sufficiente per un estremo (teorema di Fermat)
• Trovare massimi e minimi assoluti su un intervallo chiuso e risolvere problemi di ottimizzazione

Materiale di esercitazione elaborato da Zestly.